二维柯西不等式导学案

第1课时二维柯西不等式导学案姓名一、自主导学222abab,ab为实数是我们熟悉的不等式，它反映了两个实数的平方和与乘积的大小关系。现考虑乘积2222,,,abcdabcd为实数，它涉及到4个实数，并且形式上也和平方和有关。请你类比222abab的推导过程，研究一下它的不等关系。【探究】展开这个乘积，得222222222222=+++abcdacbdadbc由于2222222222+++=+acbdadbcacbdadbc即222222=+abcdacbdadbc20adbc又，22222abcdacbd①①式反映了4个实数的特定数量关系，不仅在排列形式上规律明显，具有简洁、对称的美感，而且在数学和物理中有重要作用。它是柯西不等式（Cauchyinequality）的最简形式，即二维柯西不等式。从上面的探究过程可以发现，当且仅当=0adbc时，①式等号成立。于是我们有定理（二维柯西不等式）若,,,abcd为实数，则22222abcdacbd，需要注意：⑴柯西不等式的形式特征；当且仅当=adbc时，等号成立.⑵等号成立的条件。判断下列不等式是否正确，若正确说明等号成立的条件；若错误请说明原因。⑴2222abcdacbd⑵2abcdacbd⑶22222abcdadbc【推广】请你尝试将二维柯西不等式，推广到三维。定理（三维柯西不等式）设123123,,,,,aaabbb为实数，则2222222123123112233aaabbbababab，当且仅当时，等号成立.二、课堂互动学习例1.已知341xy，求22xy的最小值.练习1.已知2224xyz，求22xyz的最大值.解：解：第1课时例2.若,xyR,1xy，求证：114xy.练习2.已知221ab，求证：cossin1ab①均值不等式②柯西不等式证明：三、学习评价2221.231,.xyzxyz若求的最小值44223323.,()()()abababab若为实数,证明：2.3546yxx求函数的最大值1114.,,1,9abcRabcabc若，证明：四、【推广】请你尝试将二维柯西不等式，推广到n维。定理（n维柯西不等式）设1212,,...,,,,...,nnaaabbb为实数，则，当且仅当时，等号成立.五、课后作业⑴自研课本12.7.3节，柯西不等式的应用；⑵完成作业卷：1、2、3、4；7、8、9；证明题：2，5六、本节课你有没搞懂的问题吗？记录下来，小组合作，共同解决吧！