二阶变系数线性微分方程的求解(宋婉芸2)

二阶变系数线性微分方程的求解宋婉芸指导教师:蔺海新(河西学院数学与应用数学专业2017届2班1350701231号,甘肃张掖734000)摘要主要讨论了二阶变系数线性微分方程的求解问题,本文利用变量代换的方法将二阶变系数线性微分方程化为Riccati方程,在利用已有的结果得出二阶变系数线性微分方程的通解.关键词二阶变系数微分方程；通解；特解中图分类号01751引言二阶线性齐次微分方程无论是在微分方程理论上还是应用上都占有重要位置．对于常系数的线性微分方程的通解结构，在一般的著作文中有十分完美的结论，但求解二阶线性变系数微分方程却无通用的求解方法．其在实际中总存在着困难，而且也一直是人们感兴趣的研究课题，如刘琼在文献［1］中讨论了方程)()(')(''yxfyxQyxp(1)当系数满足)]('2)x[41)(2xppxQ（时，其通解为dxxpdxxpdxxpdxxpedxxfxedxxfexexccx)(21)(21)(21)(2121)()()()(y,其中1c,2c为常数2预备知识法国数学家刘维尔(Liouville)1841年证明了著名的黎卡提(Riccati)方程)x()()x(dy2RyxQypdx(2)一般是不可积的，即不能用初等积分法求解．文献［2－4］均给出了待定系数满足以下条件时Riccati方程的通解，如2.1对于方程(2)，若系数满足)()()(xRXPXQ，则方程(2)可积，且其通解为)()()(y)()x(XPxQdxexpcedxxQdxQ，其中c为常数.2.2对方程(2)，若系数满足)()()(pxPxQx，则方程(2)可积，且其通解为dxxPdxexpcedxxQdxxpxPdxxQdxPxP)(1)(y)()()(2)()x()(2，其中c为常数.3定理及其证明定理1[1]对于方程(2)，若系数满足0)(xQ,)()(')(3xpxpxR则方程(2)可积，且其通解为)()(y)(2)(p222xpdxexpcedxxpdxx，其中c为常数．证明当0)x(Q，)()(')(3xpxpxR时，方程(2)化为23y'()'(x)(x)pxypp(3)显然yPx为方程(3)的特解．现令yPxxz,则'''yzxPxzxPx，将其代入方程(3)中并整理得2'()'()(()1)(()(()1))()pxzxzxpxzxpx；再令1)()(xzxw，则有222'()w'()(2())()()()0()pxxpxwxpxwxpx，根据一阶线性非齐次微分的解法(常数变易法)可解得其通解为dxxpdxxpedxexpcxpx)(2)(222)()(()(m,其中c为常数.所以))()(()(w)(2)(222dxexpcxpexdxxpdxxp,则1)()((1)()(z)(2)(222dxexpcxpexwxdxxpdxxp，从而得方程(3)的通解为)()(ey)(2)(222xpdxexpcdxxpdxxp,其中c为常数.本文利用变量代换的方法将二阶变系数微分方程0)(')(''yyxQyxp(4)化为Riccati方程，再利用已有的结果得出二阶线性变系数微分方程的通解．定理2[2]若方程(4)的系数满足'PxQx，则其通解为dxxPdxecdxxpedxxpec))()(2)(1y（,其中1c,2c为任意常数.证明设)('yxzy，则)()(')('''y2xzxyzxzy，将'y,y代入方程(1)中并整理得：0)]()()()()('1[y2xzxQxzxpxz，显然0y是方程(4)的解，而1''0zxPxzxQxzx－，即'1zxQxxPxzx(5).令)(1)(zxmx，则方程(5）即为2'mxmxPxmxQx－（6）是一个关于mx的Riccati方程，而且由于'PxQx,即方程(6)的系数满足引理1的条件,所以方程(6)可积且其通解为)()(m)(1)(xpdxecexdxxpdxxp，其中1c为任意常数.所以()()1y'[()]pxdxpxdxepxycedx从而解得dxxpdxecedxxpdxxpec)([2)(1)(y,其中1c,2c为任意常数.而当20c时,0y，所以方程(4)的通解为dxxdxecedxxpdxxpec)(p(2)(1)(y,其中1c,2c为任意常数.定理3[3]若方程(4)的系数满足1PxQx－,则其通解为dxxdxdxQecxdxQeec2221y,其中1c,2c为任意常数.证明设)(y'xzeyx，则yxzeyxzexzexzexxxx)(1)()(')(''y2222，将y,'y,代入方程(4)中并整理得0)]()()()(1)(')([y22xzexQxzexpexzexzxxxx,显然0y为方程(4)的解,而0)()()()(1)(')(z-22xzexQxzexpexzexxxxx即xxexzxpxzeQx1)(]1)([)()x()('z2(7)因为1PxQx－，则方程(7)化为xxexzxQxzexQx1)()()()()('z2（8）令)(m1)(zxx，则方程(8)化为xxeQxmxQxmex)x()()()()('m2（9）因为xxexQeQ')()x(-，满足引理2的条件，所以方程(9)可积且其通积分为dxeecdxQexdxQx212)(m,其中1c为常数，所以dxeecedxQxxdxQec2122y,其中1c,2c为任意常数.而当2c0时,0y,所以方程(4)的通解为dxxdxdxQecexdxQec2212y,其中1c,2c为任意常数.定理4[4]若方程(5)的系数满足dxxpdxxpeexpQ)(4)(21)()x(,则其通解为dxcdxedxxpedxdxdxxpdxxpedxxpedxxpec)(2)(1)(22)()(2[2y,其中1c,2c为任意常数.证明设)'('y)(xzeydxxp，则)()](')()([)('''y2)(2)()()(xzexzexzxpeyxzeydxxpdxxpdxxpdxxp将y,'y代入方程(4)中并化简整理得0)]()()()()(')()(1[y2)(2)()()(xzexQxzexpexzxpexzdxxpdxxpdxxpdxxp，显然y=0为方程（4）的解，而0)()()()()(')()(z-12)(2)()()(xzexQxzexpexzxpexdxxpdxxpdxxpdxxp，即dxxdxxpexzexQx)(p-2)()()()('z（10）再令)(1)(zxmx，则方程（10）即为dxxpdxxpexQxmex)(2)()()()('m（11）因为dxpdxxpdxxpdxxpexpeee)x3)(3)()()()(]'[（,而dxxpdxXpdxxpdxxpdxxpdxxpeexpeeexpexQ)(3)()()(4)(2)()(]1)([)(-，即方程(10)的系数满足定理1的条件，所以方程(10)可积且其通解为dxeceexdxedxedxxpxpdxxpdxxp][212)()()(2)(2)(m,其中1c为常数，所以dxdxedxxpceecdxdxxpdxdxxdxxpdxxpe)(21)(p2)()(2[22)(y,其中1c,2c为任意常数.而当2c0时,0y,所以方程(4)的通解为dxecdxdxdxxpedxxpdxxpdxxpdxxpecdxee)(22)(1)(2)()(2[2y,其中1c,2c为任意常数.4方程的求解求二阶变系数线性微分方程解时,必须观察二阶变系数线性微分方程的特征.如果是上述特殊类型的二阶变系数线性微分方程,就用特殊类型的二阶变系数线性微分方程的求解方法求之;如果不是上述特殊类型的二阶变系数线性微分方程,就用二阶变系数线性微分方程的一般求解方法求之.二阶变系数线性微分方程的一般求解步骤第一步:构造形式第二步:计算出()ux,()vx第三步:将第二步的结果代入上述公式求出通解来.例1求方程'0yxyy的通解.解xx)(p，1)(xQ '1PxQx－满足定理2的条件;所以其通解为dxecxedxxec]2[22212y,其中1c,2c为任意常数.例2求方程0)21(')3x1''yyxy（的通解.解21)(,1)(pxxQxx1)()(pxQx满足定理3的条件,所以其通解为dxxecxxec121y，其中1c,2c为任意常数.例3求方程0)11('1''y43yxxyx的通解解4311)(,1)(pxxxQxx，)(11111)(p-431412)(4)(2xQxxeexeexdxxdxxdxxpdxxp,所以其通解为:dxdxxexcxexxec}21211{212y,其中1c,2c为任意常数.例4求0yapxyapxy的通解解由方程特征可知,vxauxpx,则0yapxyapxy的通解为][y2)([1cdxecedxxpaax.注意:对于常系数齐次线性微分方程的通解往往用特征根的方法求其通解，如果用以上降价法解常系数齐次线性微分方程的解更不成问题,但较特征根法烦琐一些.例5求20yyy的通解解12vvuu解之得11vu又知2p由以上公式,所求方程的通解为)()(y212)22(1cxcecdxecexdxdx.6结束语本文分析的二阶变系数线性微分方程的解法主要是通过降阶的方式，将二阶变系数线性方砖转嫁为一阶线性微分方程进行求解，这样一来只需利用结构系数函数就可以对二阶边系数线性微分方程的特解或通解进行求得，借助结构系数函数，再利用降价法就是得出二阶边系数方程的特解或是通解.参考文献[1］刘琼.一类二阶变系数微分方程的解［J］.广西右江民族师专学报，2002，(6):18－20．[2］冯录祥．一特殊类型Riccati方程的积分［J］．石河子大学学报(自然科学版)，1997，(4):316－318．[3］庞建华．Riccati方程的一些新的可积条件［J］.广西工学院学报，2008，(2):89－92．[4］曹友娣,刘玉彬．一类二阶变系数微分方程的解［J］．惠州学院学报(自然科学版)，2010，(3):19－25．[5］王高雄.周之铭，朱恩铭，等．常微分方程(第二版)［M］．北京:高等教育出版社，2000．