二项分布北师大版选修2-3

离散型随机分布常见类型：(1)超几何分布：N件产品中，有M件次品，从中任取n件，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么：为非负整数kCCCkXPMNknMNkM,)(3【新课引入】引例某射击运动员进行了4次射击，假设每次击中目标的概率均为34，且各次击中目标与否是相互独立的。用X表示4次射击中击中目标的次数，求X的分布列。1、一共进行了多少次试验？每次试验有几个可能的结果？2、如果将每次试验的两个可能的结果分别称为“成功”（击中目标）和“失败”（没击中目标），那么，每次试验成功的概率是多少？它们相同吗？3、各次试验是否相互独立？思考交流：如果将一次射击看成做了一次试验，思考下列问题4观察：二项式413()44的二项展开式：404132223344444441311313133()()()()()()()()()4444444444CCCCC3（）各次实验是相互独立的.（1）每次实验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；2pp（）每次实验“成功”的概率均为，“失败”的概率均为1-；nX用表示这次试验中成功的次数，则()PXk1kknknCpp（）(0,1,2,)kn若一个随机变量X的分布列如上所述，则称x服从参数为n,p的二项分布。简记为x～B(n,p)三、新课：knkknppCkXP)1()(（其中k=0，1，2，···，n）实验总次数试验成功的次数试验成功的概率实验失败的概率X下列随机变量服从二项分布吗？如果服从二项分布，其参数各是什么？11nX（）掷枚相同的骰子，为出现“”点的骰子数；2nX（）个新生儿，为男婴的个数（假定生男生女是等可能的）；3pXn（）某产品的次品率为，为个产品中的次品数；40.25%Xn（）女性患色盲的概率为，为任取个女人中患色盲的人数.X服从二项分布16nnp其参数，X服从二项分布12nnp其参数，1.例11nX（）掷枚相同的骰子，为出现“”点的骰子数；2nX（）个新生儿，为男婴的个数（假定生男生女是等可能的）；3pXn（）某产品的次品率为，为个产品中的次品数；例2、某公司安装了3台报警器，它们彼此独立工作，且发生险情时每台报警器报警的概率均为0.9.求发生险情时，下列事件的概率:(1)3台都没有报警(2)恰有1台报警(3)恰有2台报警(4)3台都报警(5)至少有2台报警(6)至少有1台报警分析：令X为在发生危情时3台报警器中报警的台数，那么X服从参数n=3，p=0.9的二项分布。例3：某车间有5台机床，每台机床正常工作与否彼此独立，且正常工作的概率为0.2.设每台机床工作时需电力10KW，但因电力系统发生故障只能提供30KW的电力，问此时车间不能正常工作的概率有多大。分析：我们将每台机床是否工作看成一次试验，那么一共有5次试验，并且它们彼此是独立的；在每次试验中，把正常工作看作“成功”，不能正常工作看着“失败”，那么每次试验“成功”的概率都是0.2如果令X为5台机床中正常工作的台数，那么X服从参数为n=5，P=0.2的二项分布。49410XXnp用表示棵树苗中成活的棵数，那么服从参数为，的二项分布，则它的分布列为()PXk449911010kkkC（）（）1（）全部成活的概率为(4)PX444496561()1010C2（）全部死亡的概率为(0)PX04449111010C（）解：9104种植某种树苗，成活率为，现在种植这种树苗棵，试求：1（）全部成活的概率；2（）全部死亡的概率；练习3（）恰好成活3棵的概率为4（）至少成活2棵的概率为(3)PX(2)PX33144992916()1101010C（）(2)(3)(4)PXPXPX2223314444499999()1()(1)()1010101010CCC（）49963109104种植某种树苗，成活率为，现在种植这种树苗棵，试求：4（）至少成活2棵的概率.练习（1）每次实验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；3（）各次实验是相互独立的.2pp（）每次实验“成功”的概率均为，“失败”的概率均为1-；nX用表示这次试验中成功的次数，则()PXk1kknknCpp（）(0,1,2,)kn,(,).XXnpXBnp若一个随机变量的分布列如上所述，称服从参数为的二项分布，简记为2.利用二项分布解决实际问题1.二项分布五、小结：1．小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是()A.B.C.D.解析：所求概率P＝·()1·(1－)3－1＝.A六、课堂检测2．设随机变量ξ服从二项分布B(6，)，则P(ξ＝3)＝()A.B.C.D.解析：P(ξ＝3)＝×()3×(1－)3＝.A3．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为________．(精确到0.01)解析：P＝×(0.80)3×(0.20)2＋×(0.80)4×0.20＋(0.80)5≈0.94.答案：0.944.某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训．已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．(1)任选1名下岗人，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列．[课堂笔记](1)任选1名下岗人员，设“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题设知，事件A与B互独立，且P(A)＝0.6，P(B)＝0.75.法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是P1＝P()＝P()·P()＝0.4×0.25＝0.1.所以该人参加过培训的概率是P2＝1－P1＝1－0.1＝0.9.法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是P3＝P(A·)＋P(·B)＝0.6×0.25＋0.4×0.75＝0.45.该人参加过两项培训的概率是P4＝P(A·B)＝0.6×0.75＝0.45.所以该人参加过培训的概率是P5＝P3＋P4＝0.45＋0.45＝0.9.(2)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布B(3,0.9)，P(ξ＝k)＝×0.9k×0.13－k，k＝0,1,2,3，即ξ的分布列为：ξ0123P0.0010.0270.2430.7295.某人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为.该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6，击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．(1)设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；(2)若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P(A)．【解】(1)依题意知X～B(4，)，即X的分布列为X01234P┄┄┄(6分)(2)设Ai表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i＝1,2.Bi表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i＝1,2.依题意知P(A1)＝P(B1)＝0.1，P(A2)＝P(B2)＝0.3，A＝A1∪B1∪A1B1∪A2B2，┄┄┄┄┄┄(9分)故所求的概率为P(A)＝P(A1)＋P(B1)＋P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P()＋P()P(B1)＋P(A1)P(B1)＋P(A2)P(B2)＝0.1×0.9＋0.9×0.1＋0.1×0.1＋0.3×0.3＝0.28.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(12分)6.在甲、乙两个批次的某产品中，分别抽出3件进行质量检验．已知甲、乙批次产品检验不合格的概率分别为，假设每件产品检验是否合格相互之间没有影响．(1)求至少有2件甲批次产品不合格的概率；(2)求甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多1件的概率．解：(1)记“至少有2件甲批次产品检验不合格”为事件A.由题意，事件A包括以下两个互斥事件：①事件B：有2件甲批次产品检验不合格．由n次独立重复试验中某事件发生k次的概率公式，得P(B)＝；②事件C：3件甲批次产品检验都不合格．由相互独立事件概率公式，得P(C)＝.所以，P(A)＝P(B)＋P(C)＝.(2)记“甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多1件”为事件D.由题意，事件D包括以下三个互斥事件：①事件E：3件甲批次产品检验都不合格，且有2件乙批次产品检验不合格．其概率P(E)＝；②事件F：有2件甲批次产品检验不合格，且有1件乙批次产品检验不合格．其概率P(F)＝＝；③事件G：有1件甲批次产品检验不合格，且有0件乙批次产品检验不合格．其概率P(G)＝＝.所以，P(D)＝P(E)＋P(F)＋P(G)＝.课后思考题：“三个臭皮匠能顶一个诸葛亮”吗?刘备帐下以诸葛亮为首的智囊团共有5名谋士(不包括诸葛亮),假定对某事进行决策时,每名谋士贡献正确意见的概率为0.7,诸葛亮贡献正确意见的概率为0.9.现为此事可行与否而分别征求智囊团每名谋士的意见,并按智囊团中过半数人的意见作出决策,这样作出正确决策的概率与诸葛亮作出正确决策的概率谁大？学生探究：已知诸葛亮贡献正确意见的概率为0.9,五位谋士贡献正确意见的概率都为0.7，每个人必须单独征求意见，符合独立重复试验模型.由二项分布可求出谋士团体过半数人贡献正确意见的概率.knkkCkXP)7.01(7.0)(3则三个人得出正确结论的概率为：0.9730.02710.3C10)P(X1P303思考：实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．⑴试求甲打完5局才能取胜的概率．⑵按比赛规则甲获胜的概率．运用n次独立重复试验模型解题解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为12．⑴甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负奎屯王新敞新疆∴甲打完5局才能取胜的概率222141113()()22216PC.(2)记事件A“甲打完3局才能取胜”，记事件B=“甲打完4局才能取胜”，记事件C=“甲打完5局才能取胜”．事件D＝“按比赛规则甲获胜”，则DABC，又因为事件A、B、C彼此互斥，故()()()()()PDPABCPAPBPC1331816162．答：按比赛规则甲获胜的概率为12．