从初高中衔接视角理解初中数学教学

从初高中衔接视角理解初中数学教学厦门市教育科学研究院基础教育教研室肖鸣一、函数1.定位与高中学习直接衔接的、联系最紧密的知识.可以这么说：初中学的有关函数的知识、技能，所掌握的相关的解题方法、能力是高中学习的直接基础.2.主要内容及教学要求（1）函数的概念问题1：找出“函数的概念”在“初中阶段”和“高中阶段”的共同点.表达函数的概念的工具一致：图象、列表、解析式.问题2：找出“函数的概念”在“初中阶段”和“高中阶段”的两个不同点.要求：一个不同点的要求是高中有，初中没有.集合、对应.一个不同点的要求是:用高中的“函数的概念”容易解释，用初中的“函数的概念”不易解释，但是这种现象在初中出现.x＝2是函数，二次函数的对称轴，从直线的角度理解.问题3：如何理解“变量”、“自变量”、“因变量”.不要刻意强调“变量”——否则就不意解释x＝2是函数；重点理解“自变量”、“因变量”之间的关系是：互相依赖，密切相关.问题4：在初中阶段学习“函数的概念”的重点是什么？表达函数的概念的工具；问题5：“函数的概念”初高中的衔接点是什么？表达函数的概念的工具；自变量的取值；函数值的取值；（2）函数的图象看：坐标轴（单位）；是什么线、图象的趋势；特殊点（起点、端点、交点、最高点、最低点、与坐标轴的交点）；自变量的取值范围.例1：（厦门09中考第7题）药品研究所开发一种抗菌新药.经过多年的动物实验之后，首次用于临床人体试验.测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药后时间x（时）之间的函数关系如图2所示.则当1≤x≤6时，y的取值范围是A.83≤y≤6411B.6411≤y≤8C.83≤y≤8D.8≤y≤16[答题情况]本题满分人数9691人，满分率40.33%，零分人数14341人，零分率为59.67%；难度为0.4033学生.选择A的有39.90%，选择B的有11.26%，选择D的有8.09%.[评析]本题改编自华师大版八下P57第4题.以实际问题为背景，考查学生能否用一次函数的图象解决实际问题的能力.其实质是考查学生能否将图形信息转换成用符号表达的能力.由于有39.90%的学生选择A，说明这部分学生没有理解决定y的取值范围的是“最低点”和“最高点”.画:—最终目的是画草图.对解题有帮助.例2：（09厦门中考（第20（1）题已知：△ABC中，AB＝AC.（1）设△ABC的周长为7，BC＝y，AB＝x（2≤x≤3）.写出y关于x的函数关系式，并在直角坐标系中画出此函数的图象；本题难度系数是0.5625，满分率是20.39%，零分率是24.48%；直角坐标系画得不规范，如：不会选择正方向，单位长度不标准；线段画成直线.（3）待定系数法一种求未知数的方法.一般用法是，设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用两个多项式恒等时同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数，从而得到待求的值.从更广泛的意义上说，待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数，利用已知条件确定这些未知数，使问题得到解决的方法.也可以这么说，待定系数法一种常用的数学方法.对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解之即得待定的系数.使用待定系数法解题的一般步骤是：确定所求问题含待定系数的解析式；根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决.解方程或消去待定系数有两种常见的方式给定的特殊点,自选符合条件的特殊点.解方程（两种类型）例3:在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－bx＋c与x轴交于A（1，0）、B（5，0）两点.求抛物线的解析式.例4:若点D（x1，y1）、E（x2，y2）、在抛物线y＝x2－x＋c上，且D、E两点关于坐标原点成中心对称，求直线DE的解析式.消去待定系数—高中常见.（4）配方法一元二次方程、二次函数（5）性质——重点一次函数、反比例函数、二次函数从整体到局部性三种语言表述：“函数图象从左到右上升”——直观“当k＞0时，y随x的增大而增大”——描述“k＞0，x1＜x2，y1＜y2”——抽象.高中不是这样描述，初中阶段，好生可以这样要求.例5：（厦门八下市质检卷）已知一次函数与反比例函数的图象交于点P（－1，－2），Q（2，m）.（1）求这两个函数的解析式；（2）当x＞3时，试比较一次函数的值与反比例函数的值的大小，并说明理由.本题是改编题，改编自教材P53.5.第（1）题是简单计算题，考查学生“用待定系数法求解析式的技能”.本题的难度系数是0.54，满分率23.02%，零分率38.89%.在设一次函数与反比例函数解析式时，有19.04%的学生没有写不同的参数，而是均设为k，在表达上显得含混不清.第（2）题是代数说理题，考查学生借助函数的图象“运用函数的性质、不等传递的意义解决比较函数值大小的问题的能力”.本题的难度系数是0.25，满分率3.18%，零分率69.04%.有21.31%的学生只写出一次函数（反比例函数）的性质，而没有把两者的性质结合起来考虑.（6）解析式、方程、不等式之间的关系作用：理解函数、运用性质、熟悉工具.关系：解析式为主，由解析式想方程、想不等式.注意点：方程、不等式不一定是标准式.3.教学注意点（1）“自变量”、“因变量”与不一定就是“x”、“y”，与字母无关.例6:(厦门09卷16题)已知ab＝2.（1）若－3≤b≤－1，则a的取值范围是；[评析]本题难度系数是0.3698，即满分率为36.98%，零分率为63.02%.不知此为函数问题，字母不是“x”、“y”；部分学生写的是－2≤x≤－23.（2）关于用实际问题引入一次函数的概念.华师大版问题：●教材用问题1和问题2引入，而问题1和问题2的自变量的取值范围是有限制的，把问题1和问题2作为引例，是否会让学生以为一次函数的自变量的取值范围是有限制的.●教材写s＝570－95t和y＝kx＋b的形式不符.解决的方式：实际问题引入会涉及求自变量的取值范围，在用实际问题作为引例时，一定要有自变量的取值是不受限制的的例子.（3）理解一次函数解析式中k、b的重要性.●k、b是如何来的——通过探究采用归纳概括的方式，学生会记得更深.●k、b的几何意义.●k、b的常数性.及参数性.（4）关于函数综合题.●函数综合题常见类型例7：如图，抛物线nmxxy221与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，2），连结BC、AD.（1）求C点的坐标及抛物线的解析式；（2）将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后再沿x轴对折得到△BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；（3）设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q.问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1∶3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.例8如图，已知直线1l的解析式为63xy直线1l与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线2l经过B、C两点，点C的坐标为（8，0），又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线2l从点C向点B移动.点P、Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒（101t）.（1）求直线2l的解析式；（2）设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式.（3）试探究：当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？例9已知二次函数y＝x2－x＋c.（1）若点A（－1，n）、B（2，2n－1）在二次函数y＝x2－x＋c的图象上，求此二次函数的最小值；（2）若点D（x1，y1）、E（x2，y2）、P（m，m）（m＞0）在抛物线y＝x2－x＋c上，且D、E两点关于坐标原点成中心对称，连结PO，当22≤PO≤2＋2时，试判断直线DE与抛物线y＝x2－x＋c＋38的交点个数，并说明理由.●这些试题中与函数内容相关性例7（1）求解析式；（2）点与解析式的关系；（3）无.例8（1）求解析式；（2）用几何的知识通过化归，得出函数关系式；（3）无.例9（1）点与解析式的关系、求解析式、求二次函数最小值；（2）求解析式、二次函数性质.例7、8的第（3）问的结构是“函数的皮，几何的魂”，行“函数之名，考几何之实”.●分清类型，把握解题方向.二、分类思想1.定位●三大基本思想之一；●可以用纸笔方式直接测试；●大规模考试必测的内容.2.分类思想解题的思维过程分析在运用分类的思想进行解题时，其思维过程通常可以分为：第一，要明确是否需要分类讨论；第二，确定分类的对象；第三，确定分类的标准；第四，逐类逐级分类讨论；第五，综合、归纳结论.第一明确是否需要分类讨论运用分类的思想解题首先需要明确分类讨论的原因.即哪些问题常常需要用到分类的思想来解决.大多数的学生在面对一个数学问题时，不易判断此问题是否需要用到分类的方法来解决该问题，即无法根据问题的条件和结论迅速辨认问题中与分类有关的数量关系或位置关系.因此，从所给的问题情境中，正确而迅速地辨认题目中与分类有关的数量关系或位置关系的，是解决问题的基础，一般地说，当我们研究的问题是下列几种的情形时，可以考虑使用分类的思想方法来解决问题.●涉及到分类定义的概念.有些概念是分类定义的，如有理数、实数、绝对值、等腰三角形、平方根、有理式的概念等，当我们应用这些概念时就必须考虑使用分类讨论的方法.例10：等腰三角形的周长为16，其中一条边的长为6，求另两条边的长.有些概念在下定义时，对所考虑的对象的范围进行了限制，如分式、一元二次方程的概念等，当解题过程中需要突破这些限制时，就必须考虑使用分类讨论的方法.例11：解关于x的方程（a－1）x2－2ax＋a＝0●直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则.《数学课程标准》的要求，直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则的有：有理数的大小比较法则；有理数的加法、乘法、除法、乘方法则；有理数乘法运算律之际的符号与因数的符号的关系；添括号、去括号法则；方程两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，方程的解不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个正（负）数，不等号的方向不（改）变；一元二次方程的求根公式；一元二次方程根的判别式；直线与圆的位置关系（交点的个数多少、半径与圆心到直线的距离的数量大小比较）；两圆的位置关系（（交点的个数多少、两圆半径的和与圆心距的数量大小比较）；一次函数的性质；反比例函数的性质；二次函数的性质等.当我们应用一元二次方程根的判别式，直线与圆的位置关系（交点的个数多少、半径与圆心到直线的距离的数量大小比较），两圆的位置关系（（交点的个数多少、两圆半径的和与圆心距的数量大小比较），这些性质解题时，可以考虑使用分类讨论的方法.当我们应用其他受到适用范围条件限制的定理、性质、公式、法则来解决问题时，如果在解决问题时需要突破对定理、性质、公式、法则的条件限制时可以考虑使用分类讨论的方法.例12：函数y＝kx＋3(－1≤x≤1,且k≠0)的图象上的点都在x轴的上方,则k的取值范围是.●进行某些有限制的运算.在解题时，遇到除法、开偶次方、含有绝对值符号等运算时，应该考虑使用分类讨论的方法.●在计算、推理过程中，遇到数量大小不确定.在计算、推理过程中，往往会遇到同一个已知条件具有不同的取值（在取值范围内），且由于取值的不同，导致了不同的结果的出现.遇到这种情况，可以考虑使用分类的方法解决问题.例13：为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加射击比赛,在同等的条件下，教练给甲、乙两名同学安排了一次射击测验，每人打10发子弹，下面是甲、乙两人各自的射击情况记录（其中乙的情况记录表上射中9、10环的子弹数被墨水污染看不清楚，但是教练记得乙射中9、10环的子弹数均不为0发)：甲:乙：①求甲同学在这次测验中平均每次射中的环数；②根据这次测验的情况，如果你是教练，你认为选谁参加比赛比较合适，并说明理由（结果保留到小数点后第1位）.例14：已知方程组x＋y＝4－2kx－y＝2的解满足x＞0，