分离变量法习题

1第十章习题解答1求解混合问题)()0,(,0)0,(0),(,0),0()0,0(02xxuxutlututlxuautxxtt，其中lxccxcvcxx000)(0解：用分离变量法：设混合问题的非零解函数为)()(),(tTxXtxu，则，)()(),(),()(),(tTxXtxutTxXtxuxxtt代入混合问题中的微分方程可得：)()()()(0)()()()(22tTtTaxXxXtTxXatTxX由初始条件可得：0)()0(0)()(),()()0(),0(lXXtTlXtlutTXtu由此可得，)(xX为如下常微分方程边值问题的非零解：0)(,0)0()0(0)()(lXXlxxXxX若λ0，则此定解问题的微分方程的通解为)exp()exp()(21xcxcxX，代入边值条件后可得0)(021xXcc，不符合要求。若λ=0，则此定解问题的微分方程的通解为xccxX21)(，代入边值条件后仍可得0)(021xXcc，不符合要求。若λ0，则此定解问题的微分方程的通解为xcxcxXsincos)(21，代入边界条件后可得：xcxXcccXsin)(00sin0cos)0(2121，22,0sin0)(,0sin)(lnlxXlclXn，所以可取),2,1(sin)()(nlxnxXxXn2由)(tT所满足的方程可得：latnblatnatTtTtTatTnnnsincos)()(0)()(22，所以，原混合问题的微分方程的满足边界条件的分离变量形式解为lxnlatnblatnatTxXtxutxunnnnnsin)sincos()()(),(),(，设原混合问题的解函数为1sin)sincos(),(nnnlxnlatnblatnatxu，则由初始条件可得：),2,1(0sin)0,(01nalxnaxunnn1sincos),(nntlxnlatnblantxu，lnnntdxlxnxanblxnblatnxux01sin)(2sin)0,()(，))(cos)((cos2sin22200lcnlcnanlvdxlxnvanbccn（*）所以，原混合问题的解为1sinsin),(nnlxnlatnbtxu，其中的nb由（*）给出。2求解混合问题）ExuxutluEtutlxuautxxtt为常数(0)0,(,0)0,(0),(,),0()0,0(02解：由于边界条件非齐次，需作函数变换如下：设)(),(),()(),(),(xllEtxvtxuxllEtxutxv，则),(),(),,(),(),,(),(txutxvtxutxvtxutxvttttttxxxx，0),(),(),(),(22txuatxutxvatxvxxttxxtt，00),(),(,0),0()0(),0(),0(tlutlvEtullEtutv，0)0,()0,(),()()0,()0,(xuxvxllExllExuxvtt，所以，),(txu是原混合问题的解的充要条件是：),(txv是如下混合问题的解：30),(),()0,(0),(,0),0()0,0(0),(),(2txvxllExvtlvtvtlxtxvatxvtxxtt（*）用分离变量法求解此定解问题，由分离变量法的标准步骤可得：1sin)sincos(),(nnnlxnlatnBlatnAtxv，代入初始条件可得：，0nB，),2,1(2sin)(20nnEdxlxnxllElAln所以，1sincos2),(nlxnlatnnEtxv，原混合问题的解函数为1sincos2)(),(nlxnlatnnExllEtxu3求解下列阻尼波动问题的解：)()0,(),()0,(0),(,0),0()0,0(022xxuxxutlututlxuahuutxxxttt其中，h为正常数，且lah2。解：使用分离变量法，设原定解问题的微分方程有如下分离变量形式非零解函数满足边界条件：)()(),(tTxXtxu则容易算得：)()(),(),()(),(),()(),(tTxXtxutTxXtxutTxXtxutttxx，代入方程后化简可得：)()()()(2)(2xXxXtTatThtT0)0()()0(),0(0XtTXtu，0)()()(),(0lXtTlXtlux，0)()(2)(2tTatThtT0)(,0)0(0)()(lXXxXxX，由)(xX的非零性可得0，此时，xcxcxXsincos)(21，4xcxXcccXsin)(00sin0cos)0(2121，取12c得：22120cos)(,sin)(lnllXxxXn将代入)(tT所满足的方程可得：0)(12)(2)(2tTalntThtT22222)12(02122lanhhalnhn),2,1(2)12(2)12(222nihlanhlanlahn从而有：)sincos()()(tBtAetTtTnnnnhtn，其中),2,1(21222nhlann，（1）设原混合问题的解函数为：12)12(sin)sincos(),(nnnnnhtxlntBtAetxu，12)12(sin)0,()(nnxlnAxux，而22)12(cos1(212)12(sin002ldxlxndxlxnll，所以),2,1(2)12(sin)(20ndxlxnxlAln（2）12)12(sin))sin)(cos)((),(nnnnnnnnnhttlxntAhBtBhAetxu12)12(sin)()0,()(nnnntlxnBhAxux，)2)12(sin)(2(10lnnndxlxnxlhAB。（3）所以，原混合问题的解是12)12(sin)sincos(),(nnnnnhtxlntBtAetxu，其中的nnnBA,,分别由（1）式、（2）式、（3）式给出。54求解混合问题CGExuExutlututlxGRuuRCLGLCuutxtttxx)0,(,)0,(0),(,0),0()0,0()(其中L、C、G、R为常数，且LG=RC。（提示：作函数变换),()/exp(),(txvLRttxu）解：记LRCGbLCa,12，混合问题的微分方程两边同除LC，方程可化为),(),(2),(),(22txubtxbutxutxuatttxx，))exp(),(())exp(),((22222bttxutbttxuxa，设)exp(),(),(bttxutxv，则有),(),(2txvtxvattxx，而且，)exp(),()exp(),(),(),exp(),(),(bttxbubttxutxvbttxutxvttxx，所以0)exp(),(),(,0)exp(),0(),0(bttlutlvbttutvxx，0)0,()0,()0,(,)0,()0exp()0,()0,(xbuxuxvExubxuxvtt，所以，若),(txu是原混合问题的解函数，则),(txv是如下混合问题的解函数：0),(,)0,(0),(,0),0()0,0(0),(),(2txvExvtxvtvtlxtxvatxvtxxxtt用分离变量法求解此混合问题，设方程的分离变量解形式的满足边界条件的非零解为)()(),(tTxXtxv，则)()(),(tTxXtxvx，),()(),(),()(),(tTxXtxvtTxXtxvxxxx)()()()(2tTatTxXxX由齐次边界条件可得，)(xX为如下定解问题的解：xcxcxXlXXxXxXsincos)(0)(,0)0(0)()(21，00)0(1cX，取12c得xxXsin)(，6),2,1(2)12(0cos)(2nlnllXn，latnBlatnAtTtTtTatTnnnn2)12(sin2)12(cos)()()()(2，),2,1(2)12(sin)()(nlxnxXxXn，设12)12(sin)2)12(sin2)12(cos(),(nnnlxnlatnBlatnAtxv代入初始条件可得：0,)12(42)12(sin)0,(20nlnBnEdxlxnxvlA，所以12)12(sin2)12(cos)12(4),(nlxnlatnnEtxv所以，原题目所给的混合问题的解函数为：12)12(sin2)12(cos)12(4)exp(),(nlxnlatnnEbttxu。5用固有函数法求解0)0,(,0)0,(0),(,0),0()0,0(),(2xuxutlututlxconstguautxxxtt解：用分离变量法：设原混合问题的微分方程对应的齐次方程有如下分离变量形式的非零解函数：)()(),(tTxXtxu，利用分离变量法的标准步骤可求得：),2,1(2)12(sin)()(,2)12(2nlxnxXxXlnnn将gtxf),(展开成)(xXn的广义Fourier级数如下：)12(42)12(sin2)(),(2)(00ngdxlxngldxxXtxfltfllnn，)2)12(cos1()12(16)()(0)0(,0)0()()()(2332latnangltTtTTTtftTatTnnn[注：方程)()()(2tftTatTn的通解为233)12(162)12(sin2)12(cos)(angllatnBlatnAtTnnn，7代入初始条件即可得此处的结果。]所以，题目所给的混合问题的解函数为lxnlatnanglxXtTtxunnn2)12(sin)2)12(cos1()12(16)()(),(2331。6．求解混合问题)()0,(0),(,0),0()0,0(0),(),(02constuxutlututlxtxuatxuxxxt。解：用分离变量法：设混合问题中的微分方程有如下满足边界条件的分离变量形式的非零解函数：)()(),(tTxXtxu，则)()(),(),()(),(),()(),(tTxXtxutTxXtxutTxXtxuxxxt，代入方程后化简再由边界条件