二次函数图像的应用

摘要：二次函数图象具有对称性，充分、合理地使用这一特性，对于解决有关二次函数的问题，会使问题得到的正确、高效的解答，同时它也是一种重要的解题途径。关键词：二次函数，抛物线，对称。我们知道二次函数图象是一条具有对称性的抛物线，合理使用抛物线的这一特征，对于解答有关二次函数的一类问题，会取得很好的效果，近年的中考命题及初中数学竞赛，涉及这方面的题目不断出现，并产生了不少的上佳题目。本文试就初中毕业班总复习阶段，在二次函数这部分内容教与学上，如何引导学生应用抛物线的对称性解决所遇到的问题，谈谈教学感想和体会。一、几个重要结论：1、抛物线的对称轴是直线。2、对于抛物线上两个不同点P1（），P2（），若有，则P1，P2两点是关于抛物线对称轴对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线；反之亦然。3、若抛物线与轴的两个交点是A（，0），B（，0），则抛物线的对称轴是（此结论是第2条性质的特例，但在实际解题中经常用到）。4、若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是A（，0），且其对称轴是，则另一个交点B的坐标可以用表示出来（注：应由A、B两点处在对称轴的左右情况而定，在应用时要把图画出）。5、若抛物线与轴的两个交点是B（，0），C（，0），其顶点是点A，则∆ABC是等腰三角形，且∆ABC的外接圆与内切圆的圆心都在抛物线的对称轴上。二、在解题中的应用：例1已知二次函数的图象经过A（-1，0）、B（3，0），且函数有最小值-8，试求二次函数的解析式。解题分析：注意到图象所过的两个点A、B，都在x轴上，故可由性质3，容易得到该抛物线的对称轴是直线x=1，进而得出该抛物线的顶点坐标是（1，-8），所以，可以用顶点式先设出所求的二次函数形式，再用待定系数法，求得结果。从本题可得到这样的经验：在求二次函数解析式的问题时，要充分挖掘题中的隐含的条件，再来选择最合适的二次函数形式，这样的就能使解题过程最简捷。例2已知抛物线,设,是抛物线与轴两个交点的横坐标，且满足.（1）求抛物线的解析式；（2）设点P（，），Q（，）是抛物线上两个不同的点，且关于此抛物线的对称轴对称，求的值。解题分析：本题是2003年厦门中考试题，原题目中的第一个问题是先“求证此抛物线与轴总有两个不同的交点”在此略去。以下只针对本题中的第（2）个问题进行讨论，并由第（1）个问题求解知该抛物线的函数解析式是；注意到P、Q两点是关于此抛物线的对称轴对称，且抛物线的对称轴是直线，由性质2可得：，所以就有。在此法求解过程，我们不难发现原题中的“P（，），Q（，）是抛物线上两个不同的点”，这一条件是多余的，因为若P、Q两点是相同的一个点，且关于对称轴对称时，这样P点就只能是顶点了，而这时解题中所得的结论一样是成立的。例3已知抛物线经过点A（-2，7）、B（6，7）、C（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是。（2005年山东中考试题）解题分析：本题若按常规的解法是先由已知的A、B、C三点的坐标求出抛物线的函数关系式，然后再用=-8，求出横坐标，进而得到答案。这样做显然没有充分利用到题中所隐含的特性----（1）A、B两点的纵坐标是相同的!（2）要求的纵坐标是-8的另一个点与C点的纵坐标相同！也就是所求点与C点关于抛物线的对称轴对称！由（1）的特点，即可求得该抛物线的对称轴是直线=2，因此与C点关于抛物线的对称轴对称的点坐标是（1，-8），这就是所求的答案。例4已知抛物线的顶点A在直线上。（1）求抛物线顶点的坐标；（2）抛物线与轴交于B、C两点，求B、C两点的坐标；（3）求∆ABC的外接圆的面积。（初三总复习第二次月考试题）解题分析：以下只对第（3）步加以讨论，并设由第（1）、（2）步求解知A（2，-9），B（-1，0），C（5，0）。注意到抛物线的对称轴是直线=2，且B、C两点关于抛物线的对称轴对称，A是抛物线的顶点，故∆ABC是等腰三角形，由性质（5）可知，∆ABC的外接圆圆心D在对称轴上，（图略）设对称轴与x轴交于点E，连结DB、DC，则有DA=DB=DC=r（外接圆的半径），因为CE=3，AD=9，所以，DE=9-r，在Rt∆DEC中，有CE2=AD2+DE2，即r2=（9-r）2+32，解得，r=5，故S⊙D=25例5若函数，则当自变量取1，2，3，…，100这100个自然数时，函数值的和是（）（1999年全国初中数学联合竞赛）（A）540（B）390（C）194（D）97解题分析：记，，则，注意到二次函数图象的对称轴是直线=50，且当=1时，=970，所以=97，这时有=97，由对称性知当=99时，=97，所以=97，这时有=97，而当自变量在2到98中取值时，因的值是小于或等于零，故所得到的的值均为零，又当=100时，==196，所以这时的值为196，这样就可知当自变量取1，2，3，…，100这100个自然数时，函数值的和是97+97+196=390，故应选答案是B。三、教后体会：通过以上几个例子可得到这样的经验：（1）在求二次函数解析式的问题时，要充分挖掘题中的隐含的条件，再来选择最合适的二次函数形式；（2）在解答有关函数问题的题目时要尽可能地去画出函数图象，那怕是它的草图，这样有利于寻找解题的思路；（3）在解答有关二次函数的问题时，若能充分、合理地应用二次函数图象的对称性，就能使解题过程顺畅简捷，提高解题效率。一次函数图像的应用1.(本小题14分)某中学九年级甲、乙两班商定举行一次远足活动，A，B两地相距10千米，甲班从A地出发匀速步行到B地，乙班从B地出发匀速步行到A地．两班同时出发，相向而行．设步行时间为x小时，甲、乙两班离A地的距离分别为千米，与x的函数关系如图所示．则甲、乙两班相距4千米时所用时间是()小时．A.B.C.D.核心考点:一次函数应用题2.(本小题14分)甲、乙两地相距60千米，上周日上午小明骑自行车从甲地前往乙地，2小时后，小明的父亲骑摩托车沿同一路线也从甲地前往乙地，他们行驶的路程y（千米）与小明行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，小明父亲出发()小时后，行进中的两车相距12千米．A.B.C.D.核心考点:一次函数应用题3.(本小题14分)小亮骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中休息了一段时间后，仍按原速行驶．他距乙地的距离与时间的关系如图中折线AB-BC-CD所示．小明骑摩托车匀速从乙地到甲地，比小亮晚出发一段时间，他距乙地的距离与时间的关系如图中线段EF所示．则小明出发()小时与小亮相距10千米．A.B.C.D.核心考点:一次函数应用题4.(本小题14分)甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，折线BC-CD-DE表示轿车离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，根据图象，轿车出发()小时后两车相距30km．A.3.3或4.5B.2.3或3.5C.D.2.9核心考点:一次函数应用题5.(本小题14分)甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行．并以各自的速度匀速行驶，甲车途径C地时休息1小时，然后按原速度继续前进到达B地；乙车从B地直接到达A地，如图是甲、乙两车离B地的距离y（千米）与甲车出发时间x（小时）的函数图象．当两车相距120千米时，乙车行驶了()小时．A.1B.3C.1.5或2.5D.1或3核心考点:一次函数应用题6.(本小题15分)已知A，B两港口相距150海里，甲船从A港行驶到B港后，休息一段时间，速度不变，沿原航线返回，同时，乙船从A港出发驶向B港，甲、乙两船离A港的距离s（海里）与甲船行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示．当两船相遇时，两船到A港的距离为90海里，乙船在行驶过程中，速度不变，则甲船行驶()小时后，两船在甲船返航过程中相距30海里．（假设甲、乙两船沿同一航线航行）A.B.C.10D.核心考点:一次函数应用题7.(本小题15分)A，B两地相距630千米，客车、货车分别从A,B两地同时出发，匀速相向行驶（客车的终点站是C站，货车的终点站是A站），客车需9小时到达C站，货车2小时可到达图中C站（如图1所示），货车的速度是客车的，客车、货车到C站的距离y与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图2所示．则两车同时出发后，相距360千米的时刻是()A.6B.C.D.核心考点:一次函数应用题