二重积分的应用

1二重积分的应用（陕西科技大学理学院陕西西安710021）摘要：二重积分对于工程技术有着十分重要的作用．对于建筑设计，不仅要求外观设计漂亮，有时还需要计算它们的容积．比如体育馆的比赛大厅、影视院的观众厅等．因为容积大小直接影响声音传播的效果与空气质量等．另外由于核算成本，计算所需原材料，还要计算建筑物的表面积．而有些公共设施建筑物的顶部是曲顶，那么如何计算这些建筑物的容积？如何计算这些建筑物顶部的表面积？都需要用到数学中的二重积分。二重积分在建筑设计中的应用，将诸多实际问题抽象为数学问题，使问题简单易懂。同时二重积分在建筑设计中的应用可以与数学建模、数学实践进行有机结合。关键词：二重积分，应用，体积TheApplicationofDoubleIntegralABSTRACT:Thedoubleintegralplaysanimportantroleinengineering.Forthearchitecturaldesign,requiresnotonlytheappearancedesignisbeautiful,sometimesneedtocalculatetheirvolume.Forexample,thestadiuminthegamehall,filmandTelevisionInstituteaudiencehall.Becausethevolumesizedirectlyaffectsthesoundpropagationeffectandairqualityandsoon.Inadditiontothecostcalculation,calculationtherawmaterialsrequiredforthebuilding,butalsotocalculatethesurfacearea.Whilesomeofthetoppublicfacilitiesbuildingisatopvolume,thenhowtocalculatethesebuildings?Howtocalculatethesurfaceareaofthetopofthebuilding?Needtousemathematicsindoubleintegrals.Applicationofdoubleintegralinarchitecturaldesign,manypracticalproblemstomathematicalproblems,maketheproblemeasytounderstand.Atthesametimetheapplicationofdoubleintegralinarchitecturaldesigncanbecombinedwithmathematicalmodeling,mathematicalpractice.KEYWORDS：Doubleintegral,applications,volume一．二重积分的应用（1）在力学上的应用1）质量（薄板）假设薄板xy在平面上覆盖区域，设在点(,)xy的密度为(,)xy（质量／单位体积）。把S分成小矩形12,,kRRR，在kR上找一点__(,)kkxy，那么kR的质量近似于__(,)kkxy()kAR，整个薄板的质量近似于__1(,)()nkkkkmxyAR实际质量科通过分割的小矩形对角线长趋近与零时，计算上式的极限得到(,)SmxydA。［1］22）质心如果1,,nmm分别是位于平面上点1122(,),(,),(,)nnxyxyxy的质量，关于x轴和y轴的总力矩是11,nnykkxkkkkMxmMym此外，质心（平衡点）的坐标__(,)xy为_11nkkyknkkxmMxmm_11nkkxknkkymMymm考虑一个密度为变量(,)xy的薄板在平面上覆盖S区域，对薄板进行分割，假设kR每个的质量近似的集中在__(,)xy处1,2,,kn，最后，当分割的小矩形对角线趋近与零时取极限，导出公式_(,)(,)ysSxxydAMxmxydA_(,)(,)xsSyxydAMymxydA（2）转动惯量从物理学上，我们知道，一个质量是m、速度v是且沿直线运动的物体，其动能是212kEmv（1）。假如物体不是沿直线运动，而是以角速度绕着一条轴运动，它的速度是vr，其中，r是它的圆形路线的半径。当代入（1）时，得到221()2kErm。表达式2rm叫做质点的转动惯量（惯性矩），记作J。因而，对于一个旋转的质点212kEJ（2）由（1）和（2）可知：对于一个做圆周运动的物体，转动惯量在其中扮演的角色与质量在直线运动的物体扮演的角色类似。对于一个在平面内包含了质量分别是12,,kmmm，距离直线L分别为12,,nrrr的n个物体系统，这个系统关于L的转动惯量定义为221122nnnJmrmrmr21nkkkmr［2］换而言之我们，我们把每一部分加起来。3现在，我们考虑密度是(,)xy，覆盖位于xy面内的区域S的薄板，如果我们类似图二把S分块，求出每一小块kR的转动惯量的近似值，加起来，求极限，可以推出关于x轴y轴和z轴的转动惯量（也叫第二力矩）的公式分别为22(,),(,)xySSJyxydAJxxydA，22()(,)zxySJxyxydAJJ二．二重积分的具体运用（1）体积问题由二重积分的几何意义知：若(,)0fxy，二重积分表示以(,)zfxy为曲顶，以Ｄ为底的曲顶柱体的体积．即1lim(,)(,)iniiiDVffxyd因此，建筑物的容积问题可以使用数学中二重积分来解决．1）求曲顶建筑物的容积．例.计算国家大剧院的容积如果把国家大剧院的顶部看成球面22224xyza的一部分（把大剧院的中心部位作为坐标原点），大剧院的下面部分看成是柱面2222xya的一部分，因此，国家大剧院的容积问题，可以粗略的看成一个二重积分题．即：求由球体22224xyza和圆柱体2222xya及xoy面上方所围成的公共部分的体积．通过以上分析，可以把大剧院的容积问题抽象成一个数学问题，也就是二重积分问题，从而建立数学模型求出结果．［3］由球的对称性知22244DVaxydxdy，其中Ｄ为xoy面上圆周222yaxy在第一卦限的区域，在极坐标系下，Ｄ可表示为02，02ra．所以，大剧院的容积（粗略的）为2244DVarrdrd22220044adarrdr32(822)3a2)求两圆形管道相交部位的体积这个问题可以抽象成两个等半径（或不等半径）的圆柱体相交所围成的立体体积问题．［4］某学校在建学生宿舍楼时，需要安装下水管道，下水管道拐弯处需要设计两个管道相交，现有半径为a的圆形管道材料，试计算两管道在拐弯处所形成的体积（体积的大小直接影响水的流量）．此问题可以抽象成求圆柱体222xya和222xza所围立体的体积因此，两管道在拐弯处所形成的的体积为228DVaxdxdy2222008aaxdxaxdy3163a4（2）表面积问题为了解决建筑设计中曲顶建筑物的表面积问题，下面引入曲面面积公式．二重积分中曲面面积公式为：221()()DxyzzAdxdyxy1）曲顶建筑物的表面积问题．计算伊斯兰教堂（主楼）顶部的面积．假如伊斯兰教堂（主楼）顶部是以旋转抛物面221zxy为顶的曲面，那么这个问题就是数学中的曲面面积问题．［5］设顶部是以旋转抛物面221zxy被xoy平面所截得曲面，由于它的对称性，该抛物面的面积是它在第一卦限部分面积的４倍．由曲面面积公式得伊斯兰教堂（主楼）顶部的面积为：2241()()DzzSdxdyxy2241(4)(4)Dxydxdy12200414rrdrd(551)6三．总结我们知道数学在建筑设计中的应用，可以利用二重积分求解曲顶建筑物的容积和表面积计算的问题．理解“数学来源于实践，服务于实践”的含义．进一步展示数学作为一门公共基础课如何与专业课进行有机的结合，数学作为一门工具性学科对于社会实践，科学技术、工程问题所起到的作用。参考文献［1］范玉军．高等数学（上册）（工科类专业）［Ｍ］．北京：人民邮电出版社，２０１１，１．［2］西安建筑科技大学等七校合编．房屋建筑学［Ｍ］．北京：中国建筑工业出版社，２００６.［3］彭德正．信息技术与课程整合实施过程中的误区及对策［Ｊ］．教育科研论坛，２０１１．［4］马震安．信息技术与课程整合热下的冷思考Ｊ］．中小学电教（教师版），２０１０．［5］应之宁．浙江省信息技术辅助高中数学教学的现状分析与对策［Ｊ］．中学数学２００４.