二重积分的概念与性质教案

17.1二重积分的基本概念（教案）主讲人：孙杰华教学目的：理解二重积分的概念、性质教学重难点：二重积分的概念、二重积分的几何意义.教学方法：讲授为主教学内容：一、二重积分的概念1．曲顶柱体的体积设有一空间立体,它的底是xoy面上的有界区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准线,而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面(.)zfxy，称这种立体为曲顶柱体.与求曲边梯形的面积的方法类似，我们可以这样来求曲顶柱体的体积V:(1)用任意一组曲线网将区域D分成n个小区域1，2，，n，以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体分划成n个小曲顶柱体1，2，，n.（假设i所对应的小曲顶柱体为i,这里i既代表第i个小区域,又表示它的面积值,i既代表第i个小曲顶柱体,又代表它的体积值.)，从而1niiV．图7.1(2)由于(,)fxy连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大．因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是2(,),((,))iiiiiiif.(3)整个曲顶柱体的体积近似值为1(,)niiiiVf.(4)为得到的精确值,只需让这个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩．为此,我们引入区域直径的概念:一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者.所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零.设n个小区域直径中的最大者为,则01lim(,),(,)niiiiiiiVf.2．二重积分的定义设,fxy是闭区域D上的有界函数,将区域D分成个小区域12,,,,n其中,i既表示第i个小区域,也表示它的面积,i表示它的直径.1max{}(,)iiiiin，作乘积(,)(1,2,)iiifin，作和式1(,)niiiif，若极限01lim,niiiif存在,则称此极限值为函数,fxy在区域D上的二重积分,记作,Dfxyd.即,Dfxyd01lim,niiiif．其中:,fxy称之为被积函数,,fxyd称之为被积表达式,d称之为面积元素,,xy称之为积分变量,D称之为积分区域.Vn33．对二重积分定义的说明：(1)极限01lim,niiiif的存在与区域D的划分及点(,)ii的选取无关。(2),Dfxyd中的面积元素d象征着积分和式中的i.图7.2由于二重积分的定义中对区域D的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域D,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩形,因此,可以将d记作dxdy(并称dxdy为直角坐标系下的面积元素),二重积分也可表示成为,Dfxydxdy.(3)二重积分的存在定理若,fxy在闭区域D上连续,则,fxy在D上的二重积分存在.注在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在.(4)若,0fxy,二重积分表示以,fxy为曲顶,以D为底的曲顶柱体的体积.练习：利用二重积分的几何意义求222222,DaxydDxya其中：。二、二重积分的性质二重积分与定积分有相类似的性质性质1（线性性）[,,],,DDDfxygxydfxydgxyd,其中:,是常数．性质2（对区域的可加性）若区域D分为两个部分区域12,DD,则412,,,DDDfxydfxydfxyd。性质3若在D上,,1fxy,为区域D的面积,则1DDdd.几何意义:高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积．练习：求2235xydxdy。性质４若在D上,,,fxyxy,则有不等式,,DDfxydxyd.特别地,由于,,,fxyfxyfxy，有,|,|DDfxydfxyd.练习：P119，1性质５（估值不等式）设M与m分别是,fxy在闭区域D上最大值和最小值,是M的面积,则,DmfxydM.练习：P119，3性质６（二重积分的中值定理）设函数,fxy在闭区域D上连续,是D的面积,则在D上至少存在一点,,使得,,Dfxydf.三、小结：二重积分的定义；二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）；二重积分的性质．四、作业：P119，2