人教A版高二数学选修1-1单元综合素质检测选修1-1全册

第1页共8页选修1－1综合素质检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2009·天津高考)命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是()A．不存在x0∈R,2x00B．存在x0∈R,2x0≥0C．对任意的x∈R,2x≤0D．对任意的x∈R,2x02．设p：大于90°的角叫钝角，q：三角形三边的垂直平分线交于一点，则p与q的复合命题的真假是()A．“p∨q”假B．“p∧q”真C．“¬q”真D．“p∨q”真3．已知抛物线x2＝4y的焦点F和点A(－1,8)，点P为抛物线上一点，则|PA|＋|PF|的最小值为()A．16B．6C．12D．94．如果双曲线经过点(6，3)，且它的两条渐近线方程是y＝±13x，那么双曲线方程是()A.x236－y29＝1B.x281－y29＝1C.x29－y2＝1D.x218－y23＝15．设f(x)可导，且f′(0)＝0，又limx→0f′(x)x＝－1，则f(0)＝()A．可能不是f(x)的极值B．一定是f(x)的极值C．一定是f(x)的极小值D．等于06．下列判断不正确．．．的是()A．命题“若p则q”与“若¬q则¬p”互为逆否命题B．“am2bm2”是“ab”的充要条件C．“矩形的两条对角线相等”的否定为假D．命题“∅{1,2}或4∈{1,2}”为真7．(2010·广东文，8)“x＞0”是“3x2＞0”成立的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．非充分非必要条件D．充要条件8．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值依次是()A．12，－15B．5，－15C．5，－4D．－4，－159．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x－1有极大值和极小值，则a的取值范围是()A．－1a2B．－3a6C．a－3或a6D．a－1或a210．(2010·山东文，9)已知抛物线y2＝2px(p0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2第2页共8页11．设F1、F2是双曲线x24a－y2a＝1的两个焦点，点P在双曲线上，∠F1PF2＝90°，若Rt△F1PF2的面积是1，则a的值是()A．1B.52C．2D.512．下列四图都是同一坐标中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是()A．①②B．③④C．①③D．①④二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13．实系数方程x2＋ax＋b＝0的两个实根一个比1大，一个比1小的充要条件是________．14．使y＝sinx＋ax为R上的增函数的a的范围为______．15．一座抛物线形拱桥，高水位时，拱顶离水面2m，水面宽4m，当水面下降1m后，水面宽________m.16．以下四个关于圆锥曲线的命题：①设A、B为两个定点，k为非零常数，若|PA→|－|PB→|＝k，则动点P的轨迹为双曲线；②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若OP→＝12(OA→＋OB→)，则动点P的轨迹为椭圆；③方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线x225－y29＝1与椭圆x235＋y2＝1有相同的焦点．其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知P：{x|a－4xa＋4}，Q：{x|x2－4x＋30}，且x∈P是x∈Q的必要条件，求实数a的取值范围．18．(本题满分12分)求与⊙C1：(x＋1)2＋y2＝1相外切且与⊙C2：(x－1)2＋y2＝9相内切的动圆圆心P的轨迹方程．第3页共8页19．(本题满分12分)过抛物线y＝ax2(a0)的顶点O作两条相互垂直的弦OP和OQ，求证：直线PQ恒过一个定点．20．(本题满分12分)已知a0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，如果p与q有且只有一个正确，求a的取值范围．21．(本题满分12分)设a∈R，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.(1)求f(x)的单调区间；(2)当x∈[0,2]时，若|f(x)|≤2恒成立，求a的取值范围．22．(本题满分14分)(2010·重庆文，19)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，第4页共8页g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式：(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．1[答案]D[解析]特称命题的否定为全称命题，故选D.2[答案]D[解析]p假，q真，故“p∨q”真．3[答案]D[解析]如图，过点A作准线的垂线，B为垂足，与抛物线交于一点P，则点P为所求的点，|PA|＋|PF|的最小值为|AB|的长度．4[答案]C[解析]设双曲线方程为13x＋y13x－y＝λ将点(6，3)代入求出λ即可．答案C.5[答案]B[解析]由limx→0f′(x)x＝－1，故存在含有0的区间(a，b)使当x∈(a，b)，x≠0时，f′(x)x0，于是当x∈(a,0)时，f′(x)0；当x∈(0，b)时，f′(x)0，这样f(x)在(a,0)上单增，在(0，b)上单减．6[答案]B[解析]am2bm2⇒ab，但ab⇒/am2bm2.例如：m＝0时．7[答案]A[解析]本题考查了充要条件的判定问题，这类问题的判断一般分两个方向进行，x0第5页共8页显然能推出3x20，而3x20⇔|x|0⇔x≠0，不能推出x0，故选A.8[答案]B[解析]y′＝6x2－6x－12＝6(x2－x－2)＝6(x－2)(x＋1)，令y′＝0，得x＝－1或x＝2，∵x∈[0,3]，∴x＝－1舍去．列表如下：x0(0,2)2(2,3)3f′(x)－0＋f(x)5极小值－15－4由上表可知，函数在[0,3]上的最大值为5，最小值为－15，故选B.9[答案]C[解析]f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，令f′(x)＝0，即3x2＋2ax＋a＋6＝0，由题意，得Δ＝4a2－12(a＋6)＝4(a2－3a－18)＝4(a－6)(a＋3)0，∴a6或a－3，故选C.10[答案]B[解析]本题考查了抛物线的方程及中点弦问题，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则中点(x1＋x22，y1＋y22)，∴y1＋y22＝2，y21＝2px1①y22＝2px2②①－②得y21－y22＝2p(x1－x2)⇒y1－y2x1－x2＝2py1＋y2＝py1＋y22，∴kAB＝1＝p2⇒p＝2，∴y2＝4x，∴准线方程式为：x＝－1，故选B.11[答案]A[解析]∵||PF1|－|PF2||＝4a(a0)，∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝16a，又∵∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2＋|PF2|2＝4c2＝20a，∴|PF1|·|PF2|＝2a，∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝a＝1.12[答案]B[解析]二次函数为导函数，③中x0时，f′(x)0，f(x)在(－∞，0)内应递增，故③为假，同理，知④也为假．13[答案]a＋b＋10第6页共8页[解析]实系数方程x2＋ax＋b＝0的两个实根一个比1大，一个比1小的充要条件是f(1)＝a＋b＋10.14[答案]a≥1[解析]y′＝cosx＋a≥0在R上恒成立，∴a≥－cosx在R上恒成立，又cosx∈[－1,1]，∴－cosx∈[－1,1]，∴a≥1.15[答案]26[解析]设抛物线方程为：x2＝－2py(p0)，点(2，－2)在抛物线上，∴p＝1，设水面下降1m后，水面宽2xm，则点(x，－3)在抛物线上，∴x2＝6，∴x＝6.16[答案]③④[解析]①中当k＝|AB|时，点P的轨迹是一条射线．②中，点P的轨迹是以AC中点为圆心，以定圆半径的一半长为半径的圆．17[解析]因为P：{x|a－4xa＋4}，Q：{x|1x3}，又因为x∈P是x∈Q的必要条件，所以Q⊆P，所以a－4≤1a＋4≥3⇒a≤5a≥－1，即－1≤a≤5.18[解析]设动圆圆心P的坐标为(x，y)，半径为r，由题意得|PC1|＝r＋1，|PC2|＝3－r，∴|PC1|＋|PC2|＝r＋1＋3－r＝4|C1C2|＝2，由椭圆定义知，动圆圆心P的轨迹是以C1、C2为焦点，长轴长2a＝4的椭圆，椭圆方程为：x24＋y23＝1.19[解析]证明：设P(x1，ax21)，Q(x2，ax22)，则直线PQ的斜率为kPQ＝a(x1＋x2)∴其方程为y－ax21＝a(x1＋x2)(x－x1)，即y－a(x1＋x2)x＋ax1x2＝0，∵OP⊥OQ，∴kOP·kOQ＝－1⇒a2x1·x2＝－1.∴y－1a＝a(x1＋x2)(x－0)．∴PQ恒过定点0，1a.20[解析]当0a1时，函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a1时，y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减．曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同两点等价于(2a－3)2－40.即a12或a52.(1)p正确，q不正确．第7页共8页则a∈(0,1)∩a12≤a≤52且a≠1，即a∈12，1.(2)p不正确，q正确．则a∈(1，＋∞)∩a0a12或a52，即a∈52，＋∞.综上，a取值范围为12，1∪52，＋∞.21[解析](1)对函数f(x)求导数，得f′(x)＝3x2－2x－1.令f′(x)0，解得x1或x－13；令f′(x)0，解得－13x1.所以，f(x)的单调递增区间为(－∞，－13)和(1，＋∞)，f(x)的单调递减区间为－13，1.(2)由(1)知，f(x)在(0,1)上是递减的，在(1,2)上是递增的，所以，f(x)在[0,2]上的最小值为f(1)＝－1＋a；由f(0)＝a，f(2)＝2＋a，知f(0)f(2)，所以，f(x)在[0,2]上的最大值为f(2)＝2＋a.因为，当x∈[0,2]时，|f(x)|≤2⇔－2≤f(x)≤2⇔－1＋a≥－22＋a≤2，解得－1≤a≤0，即a的取值范围是[－1,0]．22[解析]本题主要考查函数的奇偶性、单调性、最值等基础知识．考查导数在函数中的应用，同时还考查综合分析问题和解决问题的能力．解：(1)由题意得f′(x)＝3ax2＋2x＋b，因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.因为函数g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，即对任意x，有a(－x)3＋(3a＋1)(－x)2＋(b＋2)(－x)＋b＝－[ax3＋(ba＋1)x2＋(b＋2)x＋b]从而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－13，b＝0.因此f(x)的解析表达式为f(x)＝－13x3＋x2.第8页共8页(2)由(1)知g(x)＝－13x3＋2x，所以g′(x)＝－x2＋2，令g′(x)＝0.解得x1＝2，x2＝2，则当x－2或x2时，g′(x)0时，从而g(x)在区间(－∞，－2]，[2，＋∞)上是减函数；当－2x2时，g′(x)0，从而g(x)在区间[－2，2]上是增函数，由单调性可知，在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x＝1，2，2时取得，而g(1)＝53，g(2)＝423，g(2)＝43.因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g(2)＝423，最小值为g(2)＝43.