高考文科立体几何证明专题

1图4GEFABCD图5DGBFCAE立体几何专题1．如图4，在边长为1的等边三角形ABC中，,DE分别是,ABAC边上的点，ADAE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将ABF沿AF折起，得到如图5所示的三棱锥ABCF，其中22BC．(1)证明：DE//平面BCF；(2)证明：CF平面ABF；(3)当23AD时，求三棱锥FDEG的体积FDEGV．【解析】（1）在等边三角形ABC中，ADAEADAEDBEC,在折叠后的三棱锥ABCF中也成立，//DEBC,DE平面BCF，BC平面BCF，//DE平面BCF；（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AFBC①，12BFCF.在三棱锥ABCF中，22BC，222BCBFCFCFBF②BFCFFCFABF平面；（3）由（1）可知//GECF，结合（2）可得GEDFG平面.11111131332323323324FDEGEDFGVVDGFGGF【解析】这个题是入门级的题，除了立体几何的内容，还考查了平行线分线段成比例这个平面几何的内容.22．如图5所示，在四棱锥P-ABCD中,AB平面PAD,ABCD,PD=AD,E是PB的中点，F是DC上的点且DF=21AB,PH为PAD中AD边上的高．（1）证明：PH平面ABCD；（2）若PH=1，AD=2,FC=1，求三棱锥E-BCF的体积；（3）证明：EF平面PAB．解：(1)ABCDPHPADPADABPAD平面所以平面，面又中的高为AADABABPHPHADPHPH(2):过B点做BGGCDBG，垂足为；连接HB,取HB中点M，连接EM，则EM是BPH的中位线ABCD)1(平面知：由PHABCD平面EMBCF平面ＥＭ即EM为三棱锥BCF-E底面上的高BGFC21SBCF=2221212121PHＥＭ＝12221223131EMSVBCFBCFE3（3）：取AB中点N，PA中点Q，连接EN，FN，EQ，DQNFNENFNABNADFAB21DF//ENPABENPADPADABPAD,//是距形四边形又的中位线是又平面，平面平面ENABPAPAABPACDCDAB3、如图，已知三棱锥A—BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形。（Ⅰ）求证：DM∥平面APC；（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面APC；（Ⅲ）若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D—BCM的体积．4、已知正方体ABCD—A1B1C1D1，其棱长为2，O是底ABCD对角线的交点。求证：（1）C1O∥面AB1D1；（2）A1C⊥面AB1D1。NEFABNNENFNFABNADFABEFNEFEFNEFAB平面是距形四边形平面又平面4（3）若M是CC1的中点，求证：平面AB1D1⊥平面MB1D15.如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝PA＝2，CD＝22，E、F分别是AB、PD的中点.(1)求证：AF∥平面PCE；(2)求证：平面PCE⊥平面PCD；(3)求四面体PEFC的体积.6.如图，已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，M、N、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B1C1的中点.(1)求证：平面PCC1⊥平面MNQ；D1ODBAC1B1A1CM5(2)求证：PC1∥平面MNQ.7.如图，在棱长为2的正方体1111DCBAABCD中，E、F分别为1DD、DB的中点.（1）求证：EF//平面11DABC；（2）求证：EFCB18.右图为一简单集合体，其底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，//ECPD，且2PDADEC=2.（1）画出该几何体的三视图；（2）求四棱锥B－CEPD的体积；PABCDE6（3）求证：//BE平面PDA．9.如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，2PDAB，E，F，G分别为PC、PD、BC的中点．（1）求证：EFPGC面；（2）求证：；EFGPA面//；（3）求三棱锥PEFG的体积．3、解：（Ⅰ）由已知得，MD是ABP的中位线APMD∥……………2分7APCAPAPCMD面面,APCMD面∥……………4分（Ⅱ）PMB为正三角形，D为PB的中点，PBMD，…………………5分PBAP…………………6分又PPCPBPCAP,PBCAP面……………………7分PBCBC面BCAP又AAPACACBC,APCBC面………………9分ABCBC面平面ABC⊥平面APC………………10分（Ⅲ）∵PBCMD面，MD是三棱锥M—DBC的高，且MD＝53…11分又在直角三角形PCB中，由PB＝10，BC＝4，可得PC＝221………12分于是12BCDBCPSS＝221，………………………………………………13分DBCMV＝71031ShVDBCM…………………………14分4、证明：（1）连结11AC，设11111ACBDO连结1AO，1111ABCDABCD是正方体11AACC是平行四边形11ACAC且11ACAC又1,OO分别是11,ACAC的中点，11OCAO且11OCAO11AOCO是平行四边形111,COAOAO面11ABD，1CO面11ABD1CO面11ABD………………………………………5分（2）1CC面1111ABCD11!CCBD又1111ACBD，1111BDACC面111ACBD即同理可证11ACAB，8又1111DBABB1AC面11ABD………………………………………9分（3）设B1D1的中点为N,则AN⊥B1D1,MN⊥B1D1,则363MNANAM，，222,ANMNAMAMNRT，是11,,ANMNANBD面M1111,ABDBD面面M（也可以通过定义证明二面角是直二面角）………14分5、.解：(1)证明：设G为PC的中点，连结FG，EG，∵F为PD的中点，E为AB的中点，∴FG12CD，AE12CD∴FGAE，∴AF∥GE∵GE⊂平面PEC，∴AF∥平面PCE；(2)证明：∵PA＝AD＝2，∴AF⊥PD又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD.∵PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD，∴GE⊥平面PCD，∵GE⊂平面PEC，∴平面PCE⊥平面PCD；(3)由(2)知，GE⊥平面PCD，所以EG为四面体PEFC的高，又GF∥CD，所以GF⊥PD，EG＝AF＝2，GF＝12CD＝2，S△PCF＝12PD·GF＝2.得四面体PEFC的体积V＝13S△PCF·EG＝223.96、证明：(1)∵AC＝BC，P为AB的中点，∴AB⊥PC，又CC1∥AA1，AA1⊥平面ABC，∴CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥AB，又∵CC1∩PC＝C，∴AB⊥平面PCC1，由题意知MN∥AB，故MN⊥平面PCC1，MN在平面MNQ内，∴平面PCC1⊥平面MNQ.(2)连接AC1、BC1，∵BC1∥NQ，AB∥MN，又BC1∩AB＝B，∴平面ABC1∥平面MNQ，∵PC1在平面ABC1内，∴PC1∥平面MNQ.解：(1)证明：连接AF，则AF＝22，DF＝22，又AD＝4，∴DF2＋AF2＝AD2，∴DF⊥AF.又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，又PA∩AF＝A，.DFPAFDFPFPFPAF平面平面(2)过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD且AH＝14AD.再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG＝14AP，∴平面EHG∥平面PFD.∴EG∥平面PFD.从而满足AG＝14AP的点G为所求.7、证明:（1）连接1BDE、F分别为1DD、DB的中点，则EF//1BD，又1BD平面11DABC，EF平面11DABC，10正视图侧视图俯视图∴EF//平面11DABC（2）正方体1111DCBAABCD中，AB平面11BBCC，则ABCB1正方形11BBCC中，11BCCB，又1BCAB=B，AB、1BC平面11DABC,则CB1平面11DABC，1BD平面11DABC，所以CB11BD又EF//1BD,所以CB1EF.8、解：（1）该组合体的主视图和侧视图如右图示：-----3分(2)∵PD平面ABCD，PD平面PDCE∴平面PDCE平面ABCD∵BCCD∴BC平面PDCE----------5分∵11()32322SPDECDC梯形PDCE--6分∴四棱锥B－CEPD的体积1132233BCEPDPDCEVSBC梯形.----8分(3)证明：∵//ECPD，PD平面PDA，EC平面PDA∴EC//平面PDA,------------------------------------10分同理可得BC//平面PDA----------------------------11分∵EC平面EBC,BC平面EBC且ECBCC∴平面BEC//平面PDA-----------------------------13分又∵BE平面EBC∴BE//平面PDA------------------------------------------14分11面PCD∴三棱锥以GC为高，三角形PEF为底………10分∵112PFPD，112EFCD，∴1122PEFSEFPF．………12分∵112GCBC，∴111113326PEFGGPEFPEFVVSGC………14分