麦克斯韦电磁理论和电磁波

8.1麦克斯韦电磁理论由库仑定律和场强叠加原理可得出静电场的两条重要定理：（1）电场的高斯定理0()SDdSq（2）静电场的环路定理()0LEdl8.1.1麦克斯韦电磁理论产生的历史背景8.1.2位移电流由毕奥—萨伐尔定律可得出恒定磁场的两条重要定理：（3）磁场的高斯定理0()LHdlI()0SBdS（4）安培环路定理（5）法拉第电磁感应定律ddt麦克斯韦根据当时的实验资料和理论的分析，全面系统地考察了这些规律。麦克斯韦看出感生电动势现象预示着变化的磁场周围产生涡旋电场，因此在普遍情形下电场的环路定理应是：()()LSBEdldSt静电场的环路定理是它的一个特例。2S21000()()()=0SSSjdSjdSjdS或没有发现电场的高斯定理和磁场的高斯定理有什么不合理的地方，麦克斯韦假定它们在普遍情形下应该成立。然而麦克斯韦在分析了安培环路定理后，发现将它应用到非恒定情形时遇到了矛盾。在恒定条件下，安培环路定理可写成00()()=LSHdlIjdSL要想上式有意义，必须穿过以L为边界任意曲面的传导电流都相等。具体地说，如果以L为边界取两个不同的曲面和，则应有1200()()=SSjdSjdS1S但在非恒定情形下，上式不成立。最突出的例子是电容器的充放电电路。如果取与导线相交，穿过电容器两极板之间，则有2S1S10()0SjdS，20()=0SjdS21000()()()=0SSSjdSjdSjdS即因此，在非恒定的情况下，前面给出的安培环路定理不再适用。在非恒定情况下电流的连续原理给出00()SdqjdSdt按高斯定理：0()=SDdSq0()()==SSdqdDDdSdSdtdtt从而0()()SSDjdSdSt0()0SDjdSt或因此可得出这个量永远是连续的，只要边界L相同，它在不同曲面上的面积分相等。0Djt12,SS2100()()=SSDDjdSjdStt或令()DSDdS()DSdDdSdttDddt代表通过某一曲面的电位移通量则有麦克斯韦把这个量叫做位移电流(displacementcurrent)，是位移电流密度。Dt传导电流与位移电流合在一起称为全电流。全电流在任何情况下都是连续的。00SIjdS（）1201000,0eSSDDDSjSjSIt外内内在一个极板表面内、外两侧各作一面和因为，则通过的全电流为02000=eDeDDdSSSdtttjtdIdt外则通过的全电流为因，故以上两表达式相等。这样，在电容器极板表面中断了的传导电流被间隙中的位移电流接替下去，二者合在一起保持着连续性。由于全电流具有连续性在非恒定情况下，应该用它来代替磁场环路定理右端的传导电流，即：0()DLdHdlIdt以上便是麦克斯韦的位移电流假说。在电介质中位移电流为0DEP0DSSSdDEPdSdSdSdtttt（）（）（）SPdSq()SSdPdqPdSdSdttdt()()=PSPSSdqjdSdtPdSjdSt()()()而极化电荷的连续方程应为由此可见，1（）（1）式右端第二项是由极化电荷的运动引起的电流。(1)式右端第一项是与电场的时间变化率相联系的。在真空中，在位移电流中就只剩下这一项了。所以这项是位移电流的基本组成部分，但它却与“电荷的流动”无关，它本质上是变化着的电场。Et0,0PPt麦克斯韦位移电流假说的中心思想是，变化着的电场激发涡旋磁场。8.1.3麦克斯韦方程组在普遍情况下电磁场必须满足的方程组：一般情况下，式中有关各量是空间坐标和时间的函数这就是麦克斯韦方程组(Maxwellequations)的积分形式，在实际应用中，更重要的是麦克斯韦方程组的微分形式。0()()()0()0SLSLDdSqBEdldStBdSDHdlIdSt首先推导高斯定理的微分形式。假定自由电荷是体分布的，设电荷的体密度为，则高斯定理可写成0e0()()eSVDdSdV0()()eVVDdVdV式中V是高斯面S所包围的体积利用矢量分析中的高斯定理可把上式左端的面积分化为体积分：上式对任何体积V都成立，被积函数本身应相等，故得0eD这就是高斯定理的微分形式。对于安培环路定理，假定传导电流是体分布的，其密度为，则有0()()()LSDHdljdSt0()()()SSDHdSjdSt0DHjt利用斯托克斯定理(Stokestheorem)，把上式左端的线积分化为面积分：因为上式的积分范围可以任意，被积函数本身必须相等，故得0j麦克斯韦方程组中其他两个方程的微分形式都可按此法推出，最后得到下列四式：000eDBEtBDHjt以上是麦克斯韦方程组的微分形式。通常所说的麦克斯韦方程组，大都指它的微分形式。散度(divergence)旋度(curl)(ⅰ)在介质内，还需补充三个描述介质性质的方程式，对于各向同性线性介质来说，有：000DEBHjE(ⅱ)麦克斯韦方程组(ⅰ)加上描述介质性质的方程组(ⅱ)，全面总结了电磁场的规律，是宏观电动力学的基本方程组，利用它们原则上可以解决各种宏观电磁场问题。8.1.4在解麦克斯韦方程组的时候，只有在边界条件已知的情况下，才能唯一地确定方程边界条件组的解。()21210()0SnnnBdSeBBBB首先把磁场的“高斯定理”运用到扁盒状高斯面上，就得到了磁感应强度法线分量连续性的条件：或e（1）磁介质界面上的边界条件分界面1D或2D或002121=()0LnttHdlIIeHHHH（）然后把安培环路定理运用到狭长矩形回路上，并考虑到两介质分界面上没有传导电流（即0），就得到了磁场强度切线分量连续性的条件：，或22HE或l11HE或ABCD分界面1介质2介质0()02121=()0SnnnDdSqqeDDDD把高斯定理运用到扁盒状高斯面上，并考虑到两介质分界面上没有自由电荷（即0），就得到电位移法线分量连续性的条件：或（2）电介质界面上的边界条件21210()0LnttEdleEEEE（）把运用到狭长矩形回路上，就得到电场强度切线分量连续性的条件：或0()210210()SnenneDdSqeDDDD把高斯定理运用于扁盒状高斯面上，便会得到电位移矢量的法线分量的边界条件为或（3）导体界面上的边界条件00()000201020102010201+0()()()()=0()=()SeennnnnndqjdSdtejjjjttejjjj把电流的连续方程运用于扁盒状高斯面，还可得到传导电流密度法线分量的边界条件：或在恒定条件下，则有或2121(0)0nttseHHHHd在高频的情况下，由于趋肤效应，电流、电场和磁场都将分布在导体表面附近的一薄层内。若导体的电阻可以忽略，趋肤深度，可以把传导电流看成是沿导体表面分布的。在此有面电流分布的情况，或下不再成立。212121212121()0()0()0nnnnttntteBBBBeEEEEeHHHH或和或对导体分界面也适用。在导体分界面上没有传导电流的面分布时，或也适用。0000000.=0.ttttnniLIilHHlilHHiHieeHi外外内内外外考虑导体与真空（或空气）的界面。设面电流的密度为.在导体表面取一矩形回路，运用安培环路定理于此回路（位移电流在此可忽略）。因通过此回路的传导电流强度，故（）又因，故、和满足如下矢量式：eLCR电路中的电容器充电后，电荷q满足的微分方程是220dqdqqLRdtdtC00cos()tqqet2RL在电阻R较小时，它的解具有阻尼振荡的形式：这里，或01LC00122fLC8.2电磁波8.2.1电磁波的产生和传播为了产生持续的电磁振荡，必须把LCR电路（下面简称LC电路）接在电子管或晶体管上，组成振荡器，靠电路中的直流电源不断补给能量。电磁波的产生首先要有适当的电源。任何LC振荡电路原则上都可以作为发射电磁波的振源，但要想有效地把电路中的电磁能发射出去，还必须具备以下条件：（1）频率必须够高。电磁波在单位时间内辐射的能量是与频率的四次方成正比的，表明，要加大固有频率，必须减小电路中的L和C的值。（2）电路必须开放。为了把电磁场和电磁能发射出去，必须把LC振荡电路加以改造，以便电磁场能够分散到空间里。0f012fLC把LC振荡电路按图a、b、c、d的顺序逐步加以改造，使电容器的极板面积越来越小，间隔越来越大，而自感线圈的匝数越来越少，这一方面可以使C和L的数值减小，以提高固有振荡频率；另一方面是电路越来越开放，使电场和磁场分布到空间中去。最后振荡电路完全演化为一根直导线（d），电流在其中往复振荡，两端出现正负交替的等量异号电荷。这样一个电路叫做振荡偶极子（偶极振子(dipoleoscillator)），它已适合作为有效地发射电磁波的振源了。广播电台或电视台的天线都可以看成是这类偶极振子。bacd0f电磁振荡能够在空间传播，就是靠两条（1）变化的磁场激发涡旋电场；（2）变化的电场（位移电流）激发涡旋磁场在空间某处有一个电磁振源，在这里有交变的电流或电场，它在自己周围激发涡旋磁场，由于这磁场也是交变的，它又在自己周围激发涡旋电场。交变的涡旋电场和涡旋磁场相互激发，闭合的电力线和磁感应线就像链条的环节一样一个个地套连下去，在空间传播开来，形成电磁波。需要媒介电磁波不赫兹于1888年用类似上述的振荡偶极子产生了电磁波，他的实验在历史上第一次直接验证了电磁波的存在。图a是赫兹的实验装置，当充电到一定程度间隙被火花击穿时，两段金属杆连成一条导电通路，这时它相当于一个振荡偶极子，在其中激起高频的振荡。感应圈以10-100Hz的频率一次一次地使火花间隙充电，但是由于能量不断辐射出去而损失，每次放电后引起的高频振荡衰减得很快。因此赫兹振子中产生的是一种间歇性的阻尼振荡（图b）。ab振子发射出来的电磁波可以用谐振器接收，如图a中的圆形铜环就是赫兹用过的一种谐振器，间隙的距离可利用螺旋做微小调节。将谐振器放在距振子一定的距离之外，适当地选择其方位，并使之与振子谐振。赫兹发现，在发射振子的间隙有火花跳过的同时，谐振器的间隙里也有火花跳过。他在实验中初次观察到电磁振荡在空间的传播。赫兹利用这种实验装置还观察到振荡偶极子辐射的电磁波与由金属面反射回来的电磁波叠加而产生的驻波现象，并测定了波长，这就证实了振荡偶极子发射的确实是电磁波；他还证明这种电磁波与光波一样具有偏振性质，能产生折射、反射、干涉、衍射等现象。因此赫兹初步证实麦克斯韦电磁理论的预言，即电磁波的存在和光波本质上也是电磁波。当振子中激起电磁振荡时，其中有交变电流，其两半所积累的电荷也正负交替变化。从距离较远的地方看来，振子相当于电偶极矩做简谐变化的偶极子，故该振子称为偶极振子。HE8.2.2偶极振子发射的电磁波偶极振子周围电场矢量位于子午面内，磁场强度矢量位于与赤道面平行的平面内，二者互相垂直。p（1）在靠近振子中心的一个小范围内（即离振子中心点的距离或与波长具有同样数量级的范围内），电场的瞬时分布与一个静态偶极子的电场很