半角模型及其拓展

一、半角模型及其常见结论在正方形ABCD中，已知E、F分别是边BC、CD上的点，且满足,∠EAF=45°，AE、AF分别与对角线交于点M、N（△AEF满足定角定高为‘唐三角模型’）求证：（1）BE+DF=EF（2）S△ABE+S△ADF=S△AEF（3）AH=AB（4）C△ECF=2AB（5）BM2+DN2=MN2（6）△AMN∽△DNF∽△BEM∽△AEF∽△BNA∽△DAM（7）S△AMN=S四边形MNEF（8）△AOM∽△ADF,△AON∽△ABE（9）△AEN为等腰直角三角形且∠AEN=45°；△AEN为等腰直角三角形且∠AEN=45°（10）A、M、F、D四点共圆；A、B、E、N四点共圆；M、N、F、C、E五点共圆；唐三角形小唐在摆弄直尺和三角板时发现：如图，如果将三角板的一个顶点落在直尺的一边上，并绕着该点旋转，三角板和直尺重叠的部分是一个三角形时，该三角形始终有一角及该角所对边上的高度保持不变，于是，小唐将该三角形定义为“唐三角”，这个不变的角定义为定角，这个不变的高定义为定高。小唐和爸爸又一起研究证明出：当“唐三角”是以定角为顶角的等腰三角形式，“唐三角”有最小面积。即当“唐三角”△ABC中AB=AC时，S△ABC取最小值请你在小唐研究的基础上继续探究问题探究（1）如图①一张正方形纸片ABCD，E、F分别为AD、CD边上的点，将其沿BE、BF折叠，使得折叠后的点A、C重合于点M，请指出图中的一个“唐三角”____________；（2）如图②一张边长为a的正方形纸片，E、F分别为AD、CD边上的点，若△DEF的周长为2a，试探究∠EBF的度数，并说明理由；问题解决（3）如图③Rt△ABC，∠C=90°，∠CAB和∠CBA的外角平分线交于点P，若△ABC的周长恒为8，试探究S四边形ACBP是否存在最大值？若存在，请求出最大值（精确到0.01）；若不存在，请说明理由.牛刀小试（1）如图1，在△ABC中，∠ACE=45°，CD为AB上的高，若CD=4，试判断AB是否存在最小值？并求出最小值。（2）如图2，在四边形ABCD中，∠A=45°，∠B=∠D=90°，BC=CD=，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在请说明理由。（3）如图4，正方形ABCD边长为4，点E、F分别为边AB、BC上的动点，且∠EDF=45°，求四边形DEBF面积的最大值