中国科学院大学2015年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称高等代数

中国科学院大学2015年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等代数考生须知：1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。1．(15分)求下面1n阶行列式的值01211232234112211nnnnnnnnssssssssxDssssxssssx其中，12kkkknsxxx。2．(15分)假设矩阵A与B没有公共的特征根，()fx是矩阵A的特征多项式，证明以下结论：1)矩阵()fB可逆；2)矩阵方程AXXB只有零解。3．(15分)设,1,ijijnAa是斜对称方阵，即,11,,1,2,,ijnjniaaijn，证明：若A可逆，则其逆阵也是斜对称方阵。4．(20分)设二次曲面2222224xayzbxyxzyz可以经由正交变换xyPz化成椭圆柱面方程2244，试求,ab和正交矩阵P。科目名称：高等代数第1页共2页5．(15分)假设3阶实方阵A满足：2AE，E是单位方阵，AE。证明2()1TrA，其中()TrA表示矩阵A的迹。6．(15分)设A为n阶半正定实矩阵。证明：|A+2013E|≥2013n，等号成立当且仅当A=0。其中，E是单位矩阵。7.(15分)证明：任何一个实方阵均可表示成两个对称矩阵的乘积，其中至少有一个矩阵可逆。8．(15分)设A是一个33正交矩阵，证明A可以写成CR，其中C对应于3R中的旋转变换，R对应于3R的恒等变换或对应于3R中的镜面反射变换，其中R表示实数域。9．(10分)设V是数域F上的有限维向量空间，是V上的线性变换。证明V能够分解成两个子空间的之和VUW，其中，,UW满足：对任意uU，存在正整数k使得()0ku；对任意wW，存在mvV，使得()mmwv对所有的正整数m。10．(15分)设V是实数域R上的n维线性空间，是V上的线性变换，满足2（是V上的恒等变换）。1)证明n是偶数；2)若是V上的线性变换，满足，证明det()0。科目名称：高等代数第2页共2页