九年级数学下册整册内容回顾与思考

第1页共12页回眸知识要点领悟思想方法解析热点题型同学们好！时光飞逝，转瞬间一个学期就要过去了，在这个学期我们都学习了哪些知识？领会了哪些方法？掌握了哪些题型？就让我们共同回顾一下，寻回那些逝去的记忆吧！一、知识要点回眸（一）直角三角形的边角关系1．锐角三角函数的概念锐角三角函数：在△ABC中，∠C＝90°，三边长分别为a，b，c。（1）∠A的正弦sinA＝＿＿＿＝＿＿＿；（2）∠A的余弦cosA＝＿＿＿＝＿＿；（3）∠A的正切tanA＝＿＿＿＝＿＿＿＿；2、30°、45°、60°的各三角函数值．三角函数30°45°60°Sinα＿＿＿＿＿＿＿＿Cosα＿＿＿＿＿＿＿＿＿tanα＿＿＿＿＿＿＿＿＿3、互余的两个锐角的三角函数关系在直角三角形ABC中，设角C为直角，则A＋B=90°，得一组公式：cos（90°－A）＝＿＿＿；sin（90°－A）＝＿＿＿.说明：直角三角形的两个锐角的三角函数可以转化．②一个大于45°的锐角三角了函数可以转化为一个小于45°的锐角三角函数值．4．三角函数的性质重点掌握当锐角α在0°到90°内逐渐增大时正弦值由0逐渐增大到1，即＿＿＿＜sinα＜＿＿＿；②余弦值由1逐渐减少到0，即＿＿＿＜cosα＜＿＿＿；③正切值由0逐渐增向无穷大，即tanα＞＿＿＿第2页共12页同一个锐角α的正、余弦大小的比较．0°＜α＜45°时，sinα＜cosα；45°＜α＜90°时，sinα＞cosα；5．锐角三角函数的关系：sin2a+cos2=＿＿＿.tana=________.6．解直角三角形解直角三角形有以下四种类型：（1）已知两边，先用勾股定理求出第三边，再求三角函数值，最后求出角．（2）已知一边和一锐角，先求另一锐角，再由边角关系求其余两边．（3）实际问题中有关名词、术语的意义：①仰角与俯角：在进行测量时，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.如图1.②坡角与坡度：坡面与水平面的夹角叫做坡角，图2中的α是坡角；坡面的垂直高度h和水平距离l的比叫做坡度.即坡度alhitan.7．应用解直角三角形知识解决实际问题在实际问题中，把所研究的问题转化到一些直角三角形中去解决，是一种重要的方法与途径，特别是使用割补法，将图形分割或拼补成一些直角三角形，再注意寻找公共边与公共角进行过渡，是应用解直角三角形知识解决实际问题的一种行之有效的方法．常见的实际问题有：坡度问题；测量问题，航海问题等．（二）二次函数1.二次函数的定义一般地，如果__________（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫x的二次函数.2.二次函数的图象及性质图象：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是＿＿＿＿，它是轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点.性质：（1）开口方向由a确定：a0时，开口＿＿＿＿；a0时，开口＿＿＿＿；（2）对称轴：直线x=＿＿＿＿；第3页共12页（3）顶点坐标：（＿＿＿，＿＿＿＿）；（4）最值：a0时，当x=－ab2时，y有最小值＿＿＿＿；a0时，当x=－ab2时，y有最大值＿＿＿＿。（5）增减性：当a0时，在对称轴左侧，y随x的增大而＿＿＿，在对称轴右侧，y随x的增大而＿＿＿；当a0时，在对称轴左侧，y随x的增大而＿＿＿＿，在对称轴右侧，y随x的增大而＿＿＿.3.二次函数的三种表达式一般式方程：y=＿＿＿＿（a≠0）顶点式方程：y=＿＿＿＿（a≠0，（h，k）是抛物线的顶点坐标）交点式方程：y=＿＿＿＿（a≠0，x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标）4.二次函数与一元二次方程的联系二次函数与一元二次方程的关系：△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况：当△0时，抛物线与x轴有个交点；当△0时，抛物线与x轴有个交点；当△=0时，抛物线与x轴交点.（三）圆1.圆的特征（1）圆是轴对称图形，它的任意一条＿＿＿＿所在的直线都是对称轴.（2）圆是中心对称图形，并且绕＿＿＿旋转任意大小的角度，都能与原图形重合.2.垂径定理垂直于弦的直径＿＿＿，并且平分这条弦所对的＿＿＿＿.3.圆心角的特征圆心角的度数和它所对的弧的＿＿＿＿.4.圆周角的性质特征（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的＿＿＿相等；反之，在同圆或等圆中相等圆周角所对的弧也相等.（2）半圆或直径所对的圆周角是＿＿＿；90°的圆周角所对的弦是＿＿＿.（3）一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧＿＿＿.5.点和圆的位置关系第4页共12页点与圆的位置关系的判定与性质:若点在圆外,则有性质d＿＿＿r；若点在圆上,则有性质d＿＿＿r；若点在圆内,则有质d＿＿＿r.反之也成立.6.直线和圆的位置关系⑴直线和圆的位置关系判定与性质:当直线l和⊙O相离时,有性质d＿＿r；当直线l和⊙O相切时,则有性质d＿＿＿r；当直线l和⊙O相交时,则有性质d＿＿r.其中l表示直线,d是⊙O与直线l的距离,r是⊙O的半径.反之亦然.⑵判定切线的方法有三种方法:利用切线的定义:与圆有唯一＿＿＿的直线是圆的切线.与圆心的距离等于＿＿＿是圆的切线.经过半径外端并且_____是圆的切线.⑶圆的切线垂直于过切点的＿＿＿；经过圆心垂直于切线的直线必过＿＿＿＿；经过切点垂直于切线的直线必过＿＿＿＿.⑷切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长＿＿＿＿,这一点和圆心的连线平分这两条切线的＿＿＿＿＿＿.7.圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系设两圆半径分别为R和r,圆心距为d,那么:两圆外离rRdd_____R+r两圆外切rRdd_____R+r;两圆相交R-r___rRdd_____R+r;（R≥r）两圆内切rRdd_____R-r;(R＞r)⑸两圆内含)(rRrRd,同心圆0d相交两圆的连心线＿＿＿＿两圆的公共弦.相切两圆的连心线经过＿＿＿＿＿＿.8、正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的＿＿＿＿＿＿.ABOMRnrna第5页共12页9、在弧长公式l=＿＿＿＿.10、扇形的面积公式：＿＿＿或＿＿＿．11、若圆锥的底面半径为r，母线长为a，则它的侧面积：＿＿＿＿；圆锥全面积：＿＿＿＿＿＿＿.（四）统计与概率1、常见的统计图分＿＿＿、＿＿＿、＿＿＿等：条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体＿＿＿；折线统计图：能清楚地反映事物的＿＿；扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的＿＿＿。2、如果有n个数x1、x2，…，xn，那么x=＿＿＿叫做这n个数据的平均数。如果在n个数中，有些数出现不止一次，如x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次(这里f1+f2+…+fk=n)，那么这n个数的平均数可以表示为＿＿＿＿。我们把这个平均数叫做加权平均数，其中f1，f2，…，fk叫做权。3、中位数是把一组数据从小到大排列，如果数据的个数为＿＿，那么位于＿＿的数称为这组数据的＿＿。如果数据的个数为＿＿，那么位于中间的两个数的＿＿称为这组数据的＿＿。4、在一组数据中，把出现次数＿＿的数据叫这组数据的＿＿＿。5、总体中所有个体的平均数叫做＿＿＿，样本中所有个体的平均数叫做＿＿。6、方差：设在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数的差的平方分别叫做这组数据的＿＿＿＿，记作S2=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。7、标准差：通常我们取方差的＿＿＿来表示一组数据的标准差。8．游戏对双方公平是指9．不确定事件（）事件------------（）确定事件------------（）10．P（必然事件）=，P（不可能事件）=若A表示不确定事件，则P（A）的取值范围是11．一般地，若一次试验中所有可能结果出现的可能性一样，那么事件E发生的概率P（E）=（0≤P（E）≤1）第6页共12页二、思想方法领悟数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学学习的全过程．下面就和同学们谈谈八年级上册中所体现出来的数学思想方法，请同学们认真体会．（一）直角三角形三边关系的思想方法数学的思想和方法是数学的灵魂，是学习数学的通法，具有“四两拨千斤”之效。因此，同学们在学习任何数学知识时，要注意学习和积累数学思想方法，把书学“薄”。1．数形结合的思想数形结合的思想是最重要的数学思想和数学方法之一。本章在锐角三角函数概念的建立、推理论述、计算化简、解决实际问题时，都应该通过画图来帮助分析解决问题，通过数形结合的思想加深对直角三角形本质的理解。2．转化的思想将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题来解决，这就是转化的思想。同学们在遇到不熟悉的数学问题要善于研究分析该问题的结构，通过“拼”、“拆”、“合”、“分”等方法将之转化为熟悉问题来解决。运用本章知识解决有关数学问题，就是要通过添加辅助线将图形转化为直角三角形来解决，而且要转化成两个最为熟悉的（锐角为30°和45°）直角三角形来解决。3．方程的思想在现实生活中有许多问题存在等量关系，利用等量关系来解决数学问题是数学中的基本方法。方程的思想就是把未知的量用字母表示，和已知量一起参与建立等式。从而通过构造方程（组）的方法来解决问题。方程的思想体现了已知与未知的统一。4．建模的思想将实际问题抽象成纯数学问题。这是数学建模的主要内容之一。同学们在学习中要注意数学应用题的建模锻炼，将实际问题数学化，以达到提高自己解决实际问题的能力，强化自己用数学的意识。（二）、二次函数的思想方法本章主要研究的是二次函数的图象和性质，建立了不等式、方程和函数的联系．运用的数学思想、数学方法较多，如转化思想、方程思想、分类讨论思想、由特殊到一般的思想、以及数形结合思想、数学建模思想等在本章中都得到了充分体现；涉及的主要方法有：待定系数法、配方法等，特别是数形结合的思想方法，在画函数图象，研究图象信息等方面得到充分运用，它是研究函数及其图象的重要的思想方法，是架设代数与几何联系的桥梁和纽带．这几种数学思想方法的运用不是孤立的，而是紧密联系的，它渗透在问题的研究之中，只是侧重点不同而已．由此可见，数学思想方法是数学的精髓和灵魂.（三）圆中的思想方法1、转化思想：第7页共12页⑴遇到直径时,一般要引直径上的圆周角,将直径这一条件转化为直角的条件.⑵遇到有切线时,一般要引过切点的半径,以便利用切线的性质定理;或连结过切点的弦,以便利用弦切角定理.⑶遇到过圆外一点作圆的两条切线时,常常引这点到圆心的连线,以便利用切线长定理及其推论.⑷遇两圆相交,要添加公共弦,或者连心线,特别是公共弦,它在相交两圆中起着桥梁作用.⑸遇两圆相切,一般要引两圆的公切线,如果两圆外切,常引内公切线;如果两圆内切,就引外公切线,公切线的引出构造了弦切角,利用弦切角便可把两圆的圆周角联系起来.2、割补思想：求周长和面积要注意利用割补思想.3、“化曲为直”思想方法：圆柱和圆锥的侧面展开图是研究“化曲为直”的一条重要的思想方法.（四）统计与概率的思想方法1.数形结合的思想方法数形结合是统计内容的一个很突出的特点.获取了一个科学样本后，需要对样本数据进行整理分析，为了使样本的数据特征更直观，我们经常需要做图、读图，并精确地做出样本数据的频率分布直方图、折线图、扇形图等，还能理解各种图所包含的意义，通过图看出样本数据的分布状况、数据的变化趋势、变量间的关系，进而估计总体的状况2、转化与化归的思想方法统计中充分体现了转化与化归的思想方法，如部分与整体的转化，数与图的转化，随机性问题与确定性问题的转化等.统计的基本思想是用样本去估计总体，也就是用有代表性的一部分来估计整体的情况，这就反映出由部分向整体转化.3、概率中的思想方法这部分所涉及的数学思想主要有：分类讨论思想、等价转化思想、整体思想、数形结合思想，在概率和概率与统计中又体现了概率思想、统计思想、数学建模的思想等。在复习中应有意识用数学思想方法指导解题，不可就题论题，将问题孤立，片面强调单一知识和题型。能力方面主要考查：运算能力、逻辑思维能力、抽象思维能力、分析问题和解决实际问题的能力。在中考中本部分以考查实际问题为主，解决它不能机械地套用模式，而要认真分析，抽象出其中的数量关系，转