中考二轮之冲刺(几何图形的不变性和变化规律以及特殊条件下的特定性)

1几何图形的不变性和变化规律以及特殊条件下的特定性关于几何图形性质方面的探究，已成为近年来各地中考试卷中带有普遍性的热点，细分起来，这样的题目又可分为两大类：第一类：设置变化性的图形背景，探究由变化所体现的“图形不变性”或“变化规律”.第二类：设置附有特殊条件或特殊结论的图形背景，研究由此生产的“特定性质”.这两类探究问题正好体现着人们扩展认识的两个基本方向：一是由特殊向一般扩充，二是向相对更为特殊的方向深入.现在我们分别来解析与归纳这两类探究性问题应解的思考特征.一.探究图形变化引出的不变性或变化规律从图形变化过程来看，又分为三条途径：Ⅰ.由“图形变换”形成变化背景，探究其中的不变性或变化规律；Ⅱ.由“特殊到一般”形成的变化背景，探究其中的不变性或变化规律；Ⅲ.由“类比”形成的变化背景，探究其中的不变性或变化规律.从解法的思考来说，三类题目尽管有很多一致性，但因图形变化的背景不同必然带来基本切入点的不同.1.图形变换引出的不变性或变化规律我们知道，图形的“轴对称”、“平移”、“旋转”这些变换，是图形运动及延伸的重要途径，研究这些“变换”中的图形的“不变性”或“变化规律”，便是既自然又现成的展开方式。对于这些起源于“变换”的探究性问题，解法的思考当然要围绕“变换”而展开，主要思考方向可有：Ⅰ.化归到基本图形的“变换性质”；Ⅱ.沿“变换”考查图形变化中所体现的统一性和差异性.㈠借助于“化归到基本图形或变换性质”的思考获得解答例1：在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．⑴在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；⑵当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE＋DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；⑶当三角尺在⑵的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，⑵中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）．图1图2图3FFFABCDEGABCEGGDCBA2【观察与思考】经过仔细审题，排除“三角尺”和其平移的表面干扰，题中的图（1），图（2），图（3）对应的几何图形就是：它们就是我们早已熟悉的基本模式；“等腰三角形底边上任意一点到两腰的垂线段之和都等于这个三角形一腰上的高”．至此，本题的解法已是显而易见，本题的思考就是“回归到基本模式”，而题目所体现的就是“图形中变换中的不变性”．【同型练】如图1，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥BA交BA的延长线于点D．一正方形EFGH的一条边EH与AC边在一条直线上，另一条边EF恰好经过点B．⑴在图1中，请你通过观察、测量BE与CD的长度，猜想并写出BE与CD满足的数量关系，然后证明你的猜想；⑵将正方形EFGH沿AC方向平移到图2所示的位置时，EH边仍与AC边在同一直线上，另一条边EF交BC边于点M，过点M作MN⊥BA于点N．此时请你通过观察、测量ME、MN与CD的长度，猜想并写出ME、MN与CD之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；⑶将正方形EFGH沿CA方向平移到图3所示的位置时，EH边仍与AC边在同一直线上，另一条边EF的延长线交CB边的延长线于点M，过点M作MN⊥AB交AB的延长线于点N．此时请你猜想并写出ME、MN与CD之间满足的数量关系，不需证明．图1图2图3GGGCABDEFABCDEFFCBANNMMHHHGGCABDEFABCDEFGFEDCBA图1图2图33例2：用两个全等的正方形ABCD和CDFE拼成一个矩形ABEF，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF的中点D重合，且将直角三角尺绕点D按逆时针方向旋转．⑴当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF的两边BE，EF相交于点G，H时，如图甲，通过观察或测量BG与EH的长度，你能得到什么结论并证明你的结论；⑵当直角三角尺的两直角边分别与BE的延长线，EF的延长线相交于点G，H时（如图乙），你在图甲中得到的结论还成立吗？简要说明理由；⑶设直角三角尺与矩形ABEF重叠部分的面积为y，直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．【同型练】已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．（1）如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，有BM＋DN＝MN．当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．图1图2图3图甲图乙GGHHFFABCDEEDCBA4例3：知四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．①当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），易证AE＋CF＝EF；②当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．许多由图形变换引出的不变性或变化规律问题，解法思考的第一选择是将问题化归到“基本图形的变换性质”．这也进一步说明：“化归到基本”是数学思考的最基本的最重要的原则．㈡借助于考察图形变换过程中各种形态（情况）的统一和差异性来获得解法例4：如图①，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，在BC边上取两点E、F（点E在点F的左边），以EF为边所作等边△PEF，顶点P恰好在AD上，直线PE、PF分别交直线AC于点G、H．（1）求△PEF的边长；（2）若△PEF的边EF在线段CB上移动，试猜想：PH与BE有何数量关系？并证明你猜想的结论；（3）若△PEF的边EF在射线CB上移动（分别如图②和图③所示，CF＞1，P不与A重合），（2）中的结论还成立吗？若不成立，直接写出你发现的新结论．图1图2图3NMNNMMCABDEFABCDEFFEDCBAHHHPPPGGGCABDEFABCDEFFEDCBA图①图②图③5例5：⑴如图①，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上的任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连结AD交OC于点E，求证：CD＝CE．⑵若将图①中的半径OB所在的直线向上平移交半径OA于点F，交⊙O于点B′，其他条件不变，如图②，那么CD＝CE的结论还成立吗？为什么？⑶若将图①中的半径OB所在的直线向上平移到与⊙O相离的位置，它与半径OA的延长线交于点G，点E是DA延长线与CF的交点，其他条件不变，如图③，那么CD＝CE的结论还成立吗？为什么？【说明】Ⅰ．本题的思考突出了先研究特殊，再去沟通其他的情况和特殊情况的本质联系；Ⅱ．在本题正是“平移不改变角度”这一特征，保证了题中反映的不变性的成立．由以上两个例子可以看出：相当多由图形变换引出的不变性或变化规律的问题，解法的思考应沿“变换”为线索，探究清楚其各类形态间的统一和差异，以及变换过程中“变”与“不变”间的关系．2、由背景扩充引出的不变性或变化规律由背景扩充，尤其是从特殊到一般，是知识形成与发展的重要途径．在这个过程中，重要的课题就是研究哪些性质保持不变，哪些性质发生了变化，又是怎样的规律变化的．解决这类问题，思考时应该突出如下两点：Ⅰ．善于构造“特殊”和运用“特殊”；Ⅱ．善于在比较中把握不同情形下的知识与方法的共同点．㈠善于构造“特殊”和运用“特殊”例6：如图1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝6，△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE、AC、BE，且AC和BE相交于点O．⑴求证：四边形ABCE是菱形；⑵如图2，P是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，过Q作QR⊥BD交BD于R．①四边形PQED的面积是否为定值？若是，请求出其值；若不是，请说明理由；②以点P、Q、R为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形是否可能相似？若可能，请求出线段BP的长；若不可能，请说明理由．【观察与思考】我们可以借助于点P的极端位置来思考．B'OOOGCADEFABCDEFEDCA图①图②图③RQOOPCBDEAEDCBA图1图26GCDEAFBGFBDECA例7：如图，以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，试判断△ABC与△AEG的面积之间的关系，并说明理由．【观察与思考】在条件中给出的△ABC没有任何其他限制，为了获得△AEG和△ABC面积关系的认识，我们对△ABC从“一般”中取出其包含的“特殊”——令△ABC中∠BAC＝90°，即直角三角形，如图“特殊”，明显地看出，这时有Rt△ABC≌Rt△AEG，立刻得S△AEG＝S△ABC，因此，促使我们产生猜想：对于任意的△ABC，如题中操作得到△AEG，都应当有S△AEG＝S△ABC。设法验证这个猜想．为了探究“一般情况”的某种不变性，可以构造或选择恰当的“特殊”，先搞清楚这一“特殊”的情况下的结论及根据，再由此获得对“一般”的认识及解决的方法．㈡善于在情景的比较中把握知识或方法的共同点例8：操作：如图①在正方形ABCD中，点E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在正方形ABCD内部，延长AF交CD于点G．易知FG＝GC．探究：若将图①中的正方形改成矩形，其他条件不变，如图②，那么线段GF与GC相等吗？请说明理由．拓展：如图③，将图①中的正方形ABCD改为平行四边形，其他条件不变，若AB＝3，AD＝4，则△AGD的周长为．7例9：在探究矩形的性质时，小明得到了一个有趣的结论：矩形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．如图1，在矩形ABCD中，由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2，BD2＝AB2＋AD2，又CD＝AB，AD＝BC，所以AC2＋BD2＝AB2＋BC2＋CD2＋AD2＝2(AB2＋BC2)．小亮对菱形进行了探究，也得到了同样的结论，于是小亮猜想：任意平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．请你解决下列问题：⑴如图2，已知：四边形ABCD是菱形，求证：AC2＋BD2＝2(AB2＋BC2)；⑵你认为小亮的猜想是否成立，如果成立，请利用图3给出证明；如果不成立，请举反例说明；⑶如图4，在△ABC中，BC、AC、AB的长分别为a、b、c，AD是BC边上的中线．试求AD的长．（结果用a，b，c表示）研究“特殊”情况与“一般”情况之间的知识、方法、原理诸方面的共同之处，是解决扩充型不变性或变化规律问题的一种有效策略．3．由类比引出的图形的不变性或变化规律“类比”也是人们拓展视野、认识新事物、增长新知识的重要方法和途径，同样，它也是我们在数学中探究图形性质“变中不变”或“变中的变化规律”的重要方法和途径．例10．已知⊙O1与⊙O2相切于点P，它们的半径分别为R、r．一直线绕P点旋转，与⊙O1、⊙O2分别交于点A、B（点P、B不重合），探索规律：⑴如图1，当⊙O1与⊙O2外切时，探求PAPB与半径R、r之间的关系式，请证明你的结论；⑵如图2，当⊙O1与⊙O2内切时，第（1）题探求的结论是否成立？为什么？图1图2图3图4ABP1O2OABP1O2O图1图28【说明】就两圆相切来说，外切与内切是两种相对的情况，由外切情况下的某性质很自然地去联想内切情况下的相同性质，这就是典型的“类比”，当然，类比的结果可能成立，也可能不成立，但无论成立还是不成立，都会使认识得到拓展和深化，都是有意义的，当然，本题是两种情况有相同的结论，即“变中的不变”，这也是知识发展的一种形式．例11：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，A