中考压轴四边形存在性问题

-1-数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等。本专题原创编写动态几何之动点形成的四边形存在性问题模拟题。在中考压轴题中，动态几何之动点形成的四边形存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类。原创模拟预测题1.如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从A点开始沿AD边向D以3cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以1cm/s的速度运动，点P、Q分别从A、C同时出发，设运动时间为t(s)．⑴当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．①当t为何值时，以CD、PQ为两边，以梯形的底（AD或BC）的一部分（或全部）为第三边能构成一个三角形；②当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形．⑵若点P从点A开始沿射线AD运动，当点Q到达点B时，点P也随之停止运动.当t为何值时，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形．【答案】（1）①t=0s或t=8s时；②t=7s；（2）t=6s或t=12s时.【解析】试题分析：（1）①能组成三角形，则需要有三条边，可得当点P与点A重合时与点P与点ADCBPQ-2-D重合时两种情况可组成三角形，求解即可得到t的值；②由BC-CD=2cm，可知当CQ-PD=4cm时，四边形PQCD为等腰梯形，列方程求解即可；（2）根据题意可知：当P在线段AD上，则当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，P在线段AD的延长线上，则当PD=CQ时，四边形DQCP为平行四边形，所以列方程求解即可．（1）①根据题意得：②∵BC-AD=2cm，过点P作PF⊥BC于点F，过点D作DE⊥BC于点E，（2）如果P在线段AD上，则当PD=CQ四边形PQCD为平行四边形，∴24-3t=t，解得：t=6（s），∴当t=6s时，四边形PQCD为平行四边形；-3-如果P在线段AD的延长线上，考点：本题考查了等腰梯形的判定与性质，平行四边形的判定与性质点评：解答本题的关键是解题时需要仔细识图，注意合理应用数形结合思想．原创模拟预测题2.如图，抛物线215yx2x22与x轴交于点A，B，与y轴交于点C。点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：存在。如图所示，①当点N在x轴上方时，∵221519yx2xx22222，∴抛物线的对称轴为直线x=2。∵当x=0时时，5y2，-4-∴C（0，52）。∴N1（4，52）。【考点】单动点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，分类思想的应用。【解析】分点N在x轴上方和下方两种情况进行讨论。原创模拟预测题3.如图，已知点P是抛物线2yxx3上的一动点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，在四边形PMON上分别截取PC=14MP，MD=14OM，OE=14ON，NF=14NP．问：在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：如图，连接CD、DE、EF、FC，-5-同理可证：△CDM≌△FEN，∴CD=EF。∵CF=DE，CD=EF，∴四边形CDEF是平行四边形。假设存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形，设矩形PMON的边长PM=ON=m，PN=OM=n，则PC=14m，MC=34m，MD=14n，PF=34n。若四边形CDEF为矩形，则∠DCF=90°，易证△PCF∽△MDC，∴PCPFMDMC，即13mn4413nm44，化简得：m2=n2。∴m=n，即矩形PMON为正方形。∴点P为抛物线2yxx3与坐标象限角平分线y=x或y=﹣x的交点。联立2yxx3yx，解得1212x3x3,y3y3。-6-∴P1（3,3），P2（3,3）。联立2yxx3yx，解得1212x3x1,y3y1。∴P3（3，﹣3），P4（﹣1，1）。∴抛物线上存在点P，使四边形CDEF为矩形．这样的点有四个，在四个坐标象限内各一个，其坐标分别为：P1（3,3），P2（3,3），P3（3，﹣3），P4（﹣1，1）。【考点】单动点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，矩形、正方形的判定和性质，全等、相似三角形的判定和性质，分类思想的应用。原创模拟预测题4.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（8，0），点B（t，b）在直线y=b上运动，点D、E、F分别为OB、OA、AB的中点，其中b是大于零的常数。设直线y=b与y轴交于点C，问：四边形DEFB能不能是矩形？若能，求出t的值；若不能，说明理由。【答案】解：以E为圆心，OA长为直径的圆记为⊙E，∵D、E分别是OB、OA的中点，∴DE∥AB。同理，EF∥OB。∴四边形DEFB是平行四边形。①当直线y=b与⊙E相切或相交时，若点B是切点或交点，则由圆周角定理∠ABO=90°，-7-∴四边形DEFB是矩形。此时0＜b≤4，可得△AOB∽△OBC，∴OBOABCBO，即OB2=OA•BC=8t。在Rt△OBC中，OB2=BC2＋OC2=t2＋b2。∴t2＋b2=8t，即t2－8t＋b2=0，解得228644bt=416b2。②当直线y=b与⊙E相离即b＞4时，∠ABO＜90°，∴四边形DEFB不是矩形。综上所述：当0＜b≤4时，四边形DEFB是矩形，这时，2t416b，当b＞4时，四边形DEFB不是矩形。【考点】动点问题，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，直线与圆的位置关系，解一元二次方程，圆周角定理，三角形外角定理。原创模拟预测题5.如图,在Rt△ABC中，∠C＝90º,AC＝9，BC＝12，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ.点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）.（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝__________,PD＝___________；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；（3）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻成为菱形，求点Q的速度.【答案】(1)QB=12-2t,PD=34t(2)t=518秒，或t=3.6秒。（3）t=5秒，Q的速度为1516。【解析】试题分析：解：（1）QB＝12－2t，PD＝.43t-8-（2）∵PD∥BC，当PD＝BQ时四边形PDBQ为平行四边形，即12－2t＝，解得：（秒）（或秒）∴存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形.考点：平行四边判定，菱形判定，相似三角形性质，直角三角形性质。点评：熟知以上判定条件性质，在解答题目时要认真审题，有三问需结合已知一一作答，注意的是，二问有两种情况，易遗漏，本题有一定的难度属于中档题。原创模拟预测题6.如图，在平面直角坐标系中，二次函数2x2x3y的图象与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点，点P关于y轴的对称点Q，连接PO，PC，QO，QC，得到四边形POQC，是否存在点P，使四边形POQC为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：存在。3.6t185t43t-9-∴OE=EC=32，即P点的纵坐标为32。由23x2x32解得：12210210x=x=22，。∴存在这样的点，此时P点的坐标为（2102，32）或（2102，32）。【考点】二次函数综合题，轴对称的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，菱形的性质，解一元二次方程。原创模拟预测题7.如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.（1）求AD的长；（2）设CP=x，△PDQ的面积为y,求y关于x的函数表达式，并求自变量的取值范围；（3）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由.-10-【答案】、解：（1）∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，∴CHQD=90°，HD=HA，∴AHDQ，…………………………………………………………………………2分∴△DHQ∽△ABC．……………………………………………………………………1分（2）①如图1，当5.20x时，ED=x410，QH=xAAQ43tan，此时xxxxy4152343)410(212．…………………………………………2分（3）①如图1，当5.20x时，HQDEPBACDHQEBACP-11-若DE=DH，∵DH=AH=xAQA45cos，DE=x410，∴x410=x45，2140x．……………………………………………………1分显然ED=EH，HD=HE不可能；……………………………………………………1分②如图2，当55.2x时，若DE=DH，104x=x45，1140x；…………………………………………1分若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，5x；………………………1分若ED=EH，则△EDH∽△HDA，【解析】略（图1）（备用图）