中考相似三角形的应用试题赏析

中考相似三角形的应用试题赏析江苏刘顿相似三角形是研究平面图形的基础，在我们的日常生活中有着广泛地应用，在历年全国各地中考试题中也经常涉及到一些相似三角形应用方面的问题.为方便同学们对相似三角形的知识理解和运用，现以2006年中考试题为例说明如下：例1（临沂市）如图1所示，慢慢将电线杆竖起，如果所用力F的方向始终竖直向上，则电线杆竖起过程中所用力的大小将（）A.变大B.变小C.不变D.无法判断分析由物理知识可知，电线杆竖起的过程，实质上相当于以O为支点，以F为动力，以电线杆重力G为阻力的杠杆运动．在电线杆竖起的过程中，动力臂OA，阻力臂OB是逐渐变化的，再由数学知识可知，AA′∥BB′，这样利用相似三角形的知识即可求解.解因为AA′∥BB′，所以△OBB′∽△OAA′，所以有OBOA＝OBOA，而OBOA是定值，即OBOA也是定值.由杠杆平衡条件F×OA＝G×OB，得F＝G×OBOA.因此，动力F大小不变.故应选C.例2（嘉兴市）如图2，马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目.跷跷板支柱AB的高度为1.2米.（1）若吊环高度为2米，支点A为跷跷板PQ的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？（2）若吊环高度为3.6米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点A移到跷跷板PQ的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？分析为了能解决问题，我们可以画出如图3的示意图，剩下来的问题只要能正确地求出QH即可处理这两个问题.解（1）狮子能将公鸡送到吊环上.当狮子将跷跷板P端按到底时可得到Rt△PHQ，因为AB为△PHQ的中位线，AB＝1.2（米），所以QH＝2.4＞2（米）.（2）支点A移到跷跷板PQ的三分之一处，即PA＝13PQ，狮子刚好能将公鸡送到吊环上，如图3，△PAB∽△PQH，ABQH＝PAPQ＝13，所以QH＝3AB＝3.6（米）.ABPHQ图3图1PABQC图2C10米20米BMDA图4例3（攀枝花市）某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底分别是10米、20米的梯形空地上种植花木（如图4所示），他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为10元/米2的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC地带种植同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由.分析要说明资金是否够用，可以由AD∥BC，得到△AMD∽△BMD，从而利用相似三角形的性质，求出△BMC的面积即可进一步求解.解梯形ABCD中，因为AD∥BC，所以△AMD∽△BMD，所以AMDAMCSS＝2ADBC.因为AD＝10，BC＝20所以AMDAMCSS＝21020＝14.又因为S△AMD＝500÷10＝50(m2)，所以S△BMC＝200(m2).还需要资金200×10＝2000（元），而剩余资金为2000－500＝1500＜2000，所以资金不够用.例4（河北省）如图5所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB，PQ，并且AB∥PQ.建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N.小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮.（1）请你在图5中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在位置（用点C标出）；（2）已知：MN＝20m，MD＝8m，PN＝24m，求（1）中的点C到胜利街口的距离CM.分析这是一道有关影子问题，由此我们可以联想到平行光线，从而得到相似三角形，这样即可使问题获解.解（1）如图6所示，CP为视线，点C为所求位置.（2）因为AB∥PQ，MN⊥AB于M，所以∠CMD＝∠PND＝90°.又∠CDM＝∠PDN，所以△CDM∽△PDN，所以CMPN＝MDND，而MN＝20m，MD＝8m，PN＝24m，即24CM＝812，所以CM＝16（m），即点C到胜利街口的距离CM为16m.步行街图5胜利街光明巷ABMNQEDP建筑物图6