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专题二新定义型问题一、中考专题诠释所谓“新定义”型问题,主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号,要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解,根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力二、解题策略和解法精讲“新定义型专题”关键要把握两点:一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法;二是根据问题情景的变化,通过认真思考,合理进行思想方法的迁移.三、中考典例剖析考点一:规律题型中的新定义1.(2013•绵阳)我们知道,三角形的三条中线一定会交于一点,这一点就叫做三角形的重心.重心有很多美妙的性质,如关于线段比.面积比就有一些“漂亮”结论,利用这些性质可以解决三角形中的若干问题.请你利用重心的概念完成如下问题:(1)若O是△ABC的重心(如图1),连结AO并延长交BC于D,证明:23AOAD;(2)若AD是△ABC的一条中线(如图2),O是AD上一点,且满足23AOAD,试判断O是△ABC的重心吗?如果是,请证明;如果不是,请说明理由;(3)若O是△ABC的重心,过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H(均不与△ABC的顶点重合)(如图3),S四边形BCHG,S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积,试探究BCHGAGHSSV四边形的最大值.2.(1)证明:如答图1所示,连接CO并延长,交AB于点E.∵点O是△ABC的重心,∴CE是中线,点E是AB的中点.∴DE是中位线,∴DE∥AC,且DE=12AC.∵DE∥AC,∴△AOC∽△DOE,∴AOACODDE=2,∵AD=AO+OD,∴AOAD=23.(2)答:点O是△ABC的重心.证明:如答图2,作△ABC的中线CE,与AD交于点Q,则点Q为△ABC的重心.由(1)可知,AOAD=23,而AOAD=23,∴点Q与点O重合(是同一个点),∴点O是△ABC的重心.(3)解:如答图3所示,连接DG.设S△GOD=S,由(1)知AOAD=23,即OA=2OD,∴S△AOG=2S,S△AGD=S△GOD+S△AGO=3S.为简便起见,不妨设AG=1,BG=x,则S△BGD=3xS.∴S△ABD=S△AGD+S△BGD=3S+3xS=(3x+3)S,∴S△ABC=2S△ABD=(6x+6)S.设OH=k•OG,由S△AGO=2S,得S△AOH=2kS,∴S△AGH=S△AGO+S△AOH=(2k+2)S.∴S四边形BCHG=S△ABC-S△AGH=(6x+6)S-(2k+2)S=(6x-2k+4)S.∴BCHGAGHSSV四边形=(6-24)(22)xkSkS=3-21xkk①如答图3,过点O作OF∥BC交AC于点F,过点G作GE∥BC交AC于点E,则OF∥GE.∵OF∥BC,∴23OFAOCDAD,∴OF=23CD=13BC;∵GE∥BC,∴11GEAGBCABx,∴GE=1BCx;∴131BCOFBCGEx=13x,∴13(1)OFxGEOFx=12xx.∵OF∥GE,∴OHOFGHGE,∴1-2-OHOFxOGGEOFx,∴k=12-xx,代入①式得:BCHGAGHSSV四边形=13-23-22-1112-xxxkxxkx=-x2+x+1=-(x-12)2+54,∴当x=12时,BCHGAGHSSV四边形有最大值,最大值为54.考点二:运算题型中的新定义2.(2013•十堰)定义:对于实数a,符号[a]表示不大于a的最大整数.例如:[5.7]=5,[5]=5,[-π]=-4.(1)如果[a]=-2,那么a的取值范围是.(2)如果[12x]=3,求满足条件的所有正整数x.2.解:(1)∵[a]=-2,∴a的取值范围是-2≤a<-1;(2)根据题意得:3≤[12x]<4,解得:5≤x<7,则满足条件的所有正整数为5,6.考点三:探索题型中的新定义例3(2013•钦州)定义:直线l1与l2相交于点O,对于平面内任意一点M,点M到直线l1、l2的距离分别为p、q,则称有序实数对(p,q)是点M的“距离坐标”,根据上述定义,“距离坐标”是(1,2)的点的个数是()A.2B.3C.4D.5思路分析:“距离坐标”是(1,2)的点表示的含义是该点到直线l1、l2的距离分别为1、2.由于到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上,到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上,它们有4个交点,即为所求.解:如图,∵到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上,到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上,∴“距离坐标”是(1,2)的点是M1、M2、M3、M4,一共4个.故选C.点评:本题考查了点到直线的距离,两平行线之间的距离的定义,理解新定义,掌握到一条直线的距离等于定长k的点在与已知直线相距k的两条平行线上是解题的关键.考点四:开放题型中的新定义4.(2013•常州)用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子,小正方形的顶点称为格点,以格点为顶点的多边形称为格点多边形.设格点多边形的面积为S,该多边形各边上的格点个数和为a,内部的格点个数为b,则S=12a+b-1(史称“皮克公式”).小明认真研究了“皮克公式”,并受此启发对正三角开形网格中的类似问题进行探究:正三角形网格中每个小正三角形面积为1,小正三角形的顶点为格点,以格点为顶点的多边形称为格点多边形,下图是该正三角形格点中的两个多边形:根据图中提供的信息填表:格点多边形各边上的格点的个数格点边多边形内部的格点个数格点多边形的面积多边形181多边形273…………一般格点多边形abS则S与a、b之间的关系为S=(用含a、b的代数式表示).4.解:填表如下:格点多边形各边上的格点的个数格点边多边形内部的格点个数格点多边形的面积多边形1818多边形27311…………一般格点多边形abS则S与a、b之间的关系为S=a+2(b-1)(用含a、b的代数式表示).考点五:阅读材料题型中的新定义5.(2013•天门)一张矩形纸片,剪下一个正方形,剩下一个矩形,称为第一次操作;在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形,剩下一个矩形,称为第二次操作;…;若在第n次操作后,剩下的矩形为正方形,则称原矩形为n阶奇异矩形.如图1,矩形ABCD中,若AB=2,BC=6,则称矩形ABCD为2阶奇异矩形.(1)判断与操作:如图2,矩形ABCD长为5,宽为2,它是奇异矩形吗?如果是,请写出它是几阶奇异矩形,并在图中画出裁剪线;如果不是,请说明理由.(2)探究与计算:已知矩形ABCD的一边长为20,另一边长为a(a<20),且它是3阶奇异矩形,请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图,并在图的下方写出a的值.(3)归纳与拓展:已知矩形ABCD两邻边的长分别为b,c(b<c),且它是4阶奇异矩形,求b:c(直接写出结果).7.解:(1)矩形ABCD是3阶奇异矩形,裁剪线的示意图如下:(2)裁剪线的示意图如下:(3)b:c的值为14234535,,,,,,,55777788,规律如下:第4次操作前短边与长边之比为:12;第3次操作前短边与长边之比为:12,33;第2次操作前短边与长边之比为:1323,,,4455;第1次操作前短边与长边之比为:14342535,;,;,;,55777788.四、中考真题演练一、选择题1.(2013•成都)在平面直角坐标系中,下列函数的图象经过原点的是(C)A.y=-x+3B.y=5xC.y=2xD.y=-2x2+x-72.(2013•绍兴)若圆锥的轴截图为等边三角形,则称此圆锥为正圆锥,则正圆锥的侧面展开图的圆心角是(D)A.90°B.120°C.150°D.180°3.(2013•潍坊)对于实数x,我们规定[x]表示不大于x的最大整数,例如[1.2]=1,[3]=3,[-2.5]=-3,若[410x]=5,则x的取值可以是(C)A.40B.45C.51D.564.(2013•乌鲁木齐)对平面上任意一点(a,b),定义f,g两种变换:f(a,b)=(a,-b).如f(1,2)=(1,-2);g(a,b)=(b,a).如g(1,2)=(2,1).据此得g(f(5,-9))=(D)A.(5,-9)B.(-9,-5)C.(5,9)D.(9,5)5.(2013•常德)连接一个几何图形上任意两点间的线段中,最长的线段称为这个几何图形的直径,根据此定义,图(扇形、菱形、直角梯形、红十字图标)中“直径”最小的是(C)A.B.C.D.二、填空题6.(2013•上海)当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时,我们称此三角形为“特征三角形”,其中α称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°,那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°.7.(2013•宜宾)如图,△ABC是正三角形,曲线CDEF叫做正三角形的渐开线,其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C,如果AB=1,那么曲线CDEF的长是4π.8.(2013•淄博)在△ABC中,P是AB上的动点(P异于A,B),过点P的一条直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线.如图,∠A=36°,AB=AC,当点P在AC的垂直平分线上时,过点P的△ABC的相似线最多有3条.9.(2013•乐山)对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为(x).即当n为非负整数时,若n-12≤x<n+12,则(x)=n.如(0.46)=0,(3.67)=4.给出下列关于(x)的结论:①(1.493)=1;②(2x)=2(x);③若(12x-1)=4,则实数x的取值范围是9≤x<11;④当x≥0,m为非负整数时,有(m+2013x)=m+(2013x);⑤(x+y)=(x)+(y);其中,正确的结论有①③④(填写所有正确的序号).三、解答题10.(2013•莆田)定义:如图1,点C在线段AB上,若满足AC2=BC•AB,则称点C为线段AB的黄金分割点.如图2,△ABC中,AB=AC=1,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.(1)求证:点D是线段AC的黄金分割点;(2)求出线段AD的长.解:(1)∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=72°,∵BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠ABD=36°,∠BDC=72°,∴AD=BD,BC=BD,∴△ABC∽△BDC,∴BDCDABBC,即ADCDACAD,∴AD2=AC•CD.∴点D是线段AC的黄金分割点.(2)∵点D是线段AC的黄金分割点,∴AD=512AC=512.11.(2013•大庆)对于钝角α,定义它的三角函数值如下:sinα=sin(180°-α),cosα=-cos(180°-α)(1)求sin120°,cos120°,sin150°的值;(2)若一个三角形的三个内角的比是1:1:4,A,B是这个三角形的两个顶点,sinA,cosB是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根,求m的值及∠A和∠B的大小.解:(1)由题意得,sin120°=sin(180°-120°)=sin60°=32,cos120°=-cos(180°-120°)=-cos60°=-12,sin150°=sin(180°-150°)=sin30°=12;(2)∵三角形的三个内角的比是1:1:4,∴三个内角分别为30°,30°,120°,①当∠A=30°,∠B=120°时,方程的两根为12,-12,将12代入方程得:4×(12)2-m×12-1=0,解得:m=0,经检验-12是方程4x2-1=0的根,∴m=0符合题意;②当∠A=120°,∠B=30°时,两根为32,32,不符合题意;③当∠A=30°,∠B=30°时,两根为12,32,将12代入方程得:4×
本文标题:专题二新定义型问题(答案)
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