专题二次函数的动点问题1(三角形的存在性问题)

_Q_G_P_O二次函数中的动点问题（一）三角形的存在性问题一、考情分析年份题号涉及知识点分值20115、24二次函数图像的基本性质、二次函数与一元二次方程的关系，二次函数中三角形的面积问题17分20122、24二次函数的平移、二次函数表达式的求法，二次函数中的三角形的面积问题、二次函数中的直角三角形和圆17分201325二次函数表达式的求解、二次函数与一元二次方程之间的关系、一次函数与二次函数的综合问题14分二、技巧提炼1、利用待定系数法求抛物线解析式的常用三种形式（1）、【一般式】已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为，然后解三元方程组求解；（2）、【顶点式】已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为求解；（3）、【交点式】已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为。2、二次函数y=ax2+bx+c与x轴是否有交点，可以用方程ax2+bx+c=0是否有根的情况进行判定；判别式acb42二次函数与x轴的交点情况一元二次方程根的情况△＞0与x轴交点方程有的实数根△＜0与x轴交点实数根△＝0与x轴交点方程有的实数根3、抛物线上有两个点为A（x1，y），B（x2，y）(1)对称轴是直线2x21xx(2)两点之间距离公式：已知两点2211y,xQ,y,xP，则由勾股定理可得：221221)()(yyxxPQ练一练：已知A（0，5）和B（－2，3），则AB＝。(3)中点公式：已知两点2211y,xQ,y,xP，则线段PQ的中点M为222121yy,xx。练一练：已知A（0，5）和B（－2，3），则线段AB的中点坐标是4、常见考察形式（1）已知A（1,0），B（0，2），请在下面的平面直角坐标系坐标轴上找一点C，使△ABC是等腰三角形；总结：两圆一线（2）已知A（-2,0），B（1，3），请在平面直角坐标系中坐标轴上找一点C，使△ABC是直角三角形；总结：两线一圆5、求三角形的面积：（1）直接用面积公式计算；（2）割补法；（3）铅垂高法；如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=12ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。BC铅垂高水平宽haA6、二次函数中三角形的存在性问题解题思路：（1）先分类，罗列线段的长度；（2）再画图；（3）后计算三、精讲精练1.由动点产生的等腰三角形问题（2012•扬州）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．备用图2.由动点产生的直角三角形问题（2013•攀枝花）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0），B（1.0），C（0，-3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．备用图3.由动点产生的等腰直角三角形例.（2011•东营）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax2-ax-2经过点B．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．四、方法规律1、平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；2、平面直角坐标系中已知一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆；3、平面内有两点A（x1,y1）,B（x2,y3）,则AB＝，AB中点的坐标为。4、求三角形的面积：（1）直接用面积公式计算；（2）割补法；（3）铅垂高法；5、平面直角坐标系中直线l1和直线l2:当l1∥l2时k1=k2;当l1⊥l2时k1·k2=-1五、实战训练1、如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）A．2B．3C．4D．52、（2007•龙岩）如图，抛物线y=ax2-5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．3、（2007•泰安）如图，在OAB△中，90B，30BOA，4OA，将OAB△绕点O按逆时针方向旋转至OAB△，C点的坐标为（0，4）．（1）求A点的坐标；（2）求过C，A，A三点的抛物线2yaxbxc的解析式；（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，使以OAP，，为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由。4、（2010•梅州）如图，直角梯形OABC中，OC∥AB，C（0，3），B（4，1），以BC为直径的圆交x轴于E，D两点（D点在E点右方）．（1）求点E，D的坐标；（2）求过B，C，D三点的抛物线的函数关系式；（3）过B，C，D三点的抛物线上是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．