专题五平面向量

1专题五平面向量1．向量：既有________，又有________的量叫向量．2．向量的几何表示：以A为起点，B为终点的向量记作________．3．向量的有关概念：(1)零向量：长度为__________的向量叫做零向量，记作______．(2)单位向量：长度为______的向量叫做单位向量．(3)相等向量：__________且__________的向量叫做相等向量．(4)平行向量(共线向量)：方向__________的________向量叫做平行向量，也叫共线向量．①记法：向量a平行于b，记作________．②规定：零向量与__________平行．4．向量的加法法则(1)三角形法则：如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB→＝a，BC→＝b，则向量________叫做a与b的和(或和向量)，记作__________，即a＋b＝AB→＋BC→＝________.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝________＋______＝______.(2)平行四边形法则：如图所示，已知两个不共线向量a，b，作OA→＝a，OB→＝b，则O、A、B三点不共线，以______，______为邻边作__________，则对角线上的向量________＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．5．向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝______________.(2)结合律：(a＋b)＋c＝______________________.6.向量的减法(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的__________．(2)作法：在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则向量a－b＝________.如图所示．(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为________，被减向量的终点为________的向量．例如：OA→－OB→＝________.7．向量数乘运算：实数λ与向量a的积是一个__________，这种运算叫做向量的__________，记作________，其长度与方向规定如下：(1)|λa|＝__________.(2)λa(a≠0)的方向；特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝________或λ0＝________.8．向量数乘的运算律：(1)λ(μa)＝________.(2)(λ＋μ)a＝____________.(3)λ(a＋b)＝____________.特别地，有(－λ)a＝____________＝________；λ(a－b)＝____________.9．共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______________．10．向量的线性运算：向量的____、____、________运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝__________________.11．平面向量基本定理：(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个______向量，那么对于这一平面内的______向量a，__________实数λ1，λ2，使a＝____________________________.(2)基底：把________的向量e1，e2叫做表示这一平面内________向量的一组基底．12.两向量的夹角与垂直：(1)夹角：已知两个__________a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则________＝θ(0°≤θ≤180°)，叫做向量a与b的夹角．①范围：向量a与b的夹角的范围是______________．②当θ＝0°时，a与b________.③当θ＝180°时，a与b________.(2)垂直：如果a与b的夹角是________，则称a与b垂直，记作______________．13．平面向量的坐标表示：(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫作把向量正交分解．(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个____________i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝____________，则________________叫作向量a的坐标，________________叫作向量的坐标表示．(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则OA→＝________，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝________________________.14．平面向量的坐标运算：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝________________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝________________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．15．两向量共线的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)当a∥b时，有______________________．(2)当a∥b且x2y2≠0时，有____________________．即两向量的相应坐标成比例．216．若P1P→＝λPP2→，则P与P1、P2三点共线．当λ∈________时，P位于线段P1P2的内部，特别地λ＝1时，P为线段P1P2的中点；当λ∈________时，P位于线段P1P2的延长线上；当λ∈________时，P位于线段P1P2的反向延长线上．17．平面向量数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量______________叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角．(2)规定：零向量与任一向量的数量积为____．(3)投影：设两个非零向量a、b的夹角为θ，则向量a在b方向的投影是____________，向量b在a方向上的投影是______________．18．数量积的几何意义：a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_________的乘积．19．向量数量积的运算律：(1)a·b＝________(交换律)；(2)(λa)·b＝________＝________(结合律)；(3)(a＋b)·c＝______________________(分配律)．20．平面向量数量积的坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝____________.即两个向量的数量积等于________________．21．两个向量垂直的坐标表示：设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔________________.22．平面向量的模：(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝________________.(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝________________________.23．向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cosθ＝________＝__________.一、选择题1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列条件中能得到a＝b的是()A．|a|＝|b|B．a与b的方向相同C．a＝0，b为任意向量D．a＝0且b＝03．下列说法正确的有()①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为0；③共线向量是在同一条直线上的向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同．A．2个B．3个C．4个D．5个4．命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”()A．总成立B．当a≠0时成立C．当b≠0时成立D．当c≠0时成立5．下列各命题中，正确的命题为()A．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同B．模为0的向量与任一向量平行C．向量就是有向线段D．|a|＝|b|⇒a＝b6．下列说法正确的是()A．向量AB→∥CD→就是AB→所在的直线平行于CD→所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．零向量长度等于0D．共线向量是在一条直线上的向量二、填空题7．给出以下5个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________．(填序号)8．在四边形ABCD中，AB→＝DC→且|AB→|＝|AD→|，则四边形的形状为________．9．下列各种情况中，向量的终点在平面内各构成什么图形．①把所有单位向量移到同一起点；②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点；③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点．①__________；②____________；③____________.10．如图所示，E、F分别为△ABC边AB、AC的中点，则与向量EF→共线的向量有________________(将图中符合条件的向量全写出来)．三、解答题11.在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝5，并说出向量c的终点的轨迹是什么？12.如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点．(1)写出与EF→共线的向量；(2)写出与EF→的模大小相等的向量；(3)写出与EF→相等的向量．3能力提升13.如图，已知AA′→＝BB′→＝CC′→.求证：(1)△ABC≌△A′B′C′；(2)AB→＝A′B′→，AC→＝A′C′→.14.如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c.(1)与a的模相等的向量有多少个？(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？(3)与a共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a，b，c相等的向量．一、选择题1.在如图四边形ABCD中，设AB→＝a，AD→＝b，BC→＝c，则DC→等于()A．a－b＋cB．b－(a＋c)C．a＋b＋cD．b－a＋c2．化简OP→－QP→＋PS→＋SP→的结果等于()A.QP→B.OQ→C.SP→D.SQ→3．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A.EF→＝OF→＋OE→B.EF→＝OF→－OE→C.EF→＝－OF→＋OE→D.EF→＝－OF→－OE→4．在平行四边形ABCD中，|AB→＋AD→|＝|AB→－AD→|，则有()A.AD→＝0B.AB→＝0或AD→＝0C．ABCD是矩形D．ABCD是菱形5．若|AB→|＝5，|AC→|＝8，则|BC→|的取值范围是()A．[3,8]B．(3,8)C．[3,13]D．(3,13)6．边长为1的正三角形ABC中，|AB→－BC→|的值为()A．1B．2C.32D.3二、填空题7.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则BA→－BC→－OA→＋OD→＋DA→＝________8．化简(AB→－CD→)－(AC→－BD→)的结果是________．9.如图所示，已知O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别为a，b，c，则OD→＝____________(用a，b，c表示)．10．已知非零向量a，b满足|a|＝7＋1，|b|＝7－1，且|a－b|＝4，则|a＋b|＝________.三、解答题11.如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，设AB→＝a，DA→＝b，OC→＝c，求证：b＋c－a＝OA→.12.如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，AB→＝a，BC→＝b，AC→＝c，试作出下列向量并分别求出其