专题六函数图像与性质

1专题六：函数的性质与图像〖双基回顾〗一、函数性质1、函数的单调性：（1）概念：（2）一次函数y＝kx＋b，当k＞0时，在上是函数；当k＜0时，在上是函数。二次函数cbxaxy2，0a时，在上是减函数，在上是增函数注意：1、讨论函数单调性必须在其内进行。2、判断函数的单调性的方法有：（1）用定义；（2）用已知函数的单调性；3、复合函数的单调性规律：。[例1]求函数)34(log221xxy的单调区间[例2]（1）若函数2)1(2)(2xaxxf在区间（－∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是______；（2）已知函数1()2axfxx在区间2,上为增函数，则实数a的取值范围_____；2、函数的奇偶性。（1）、若函数f(x)为定义域为D的奇函数，则f(x)应满足：对任意x∈D，都有若函数f(x)为定义域为D的偶函数，则f(x)应满足：对任意x∈D，都有注：具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！[例3]（1）判断下列函数的奇偶性（1）2|4|49xyx；（2）xxxf2)21()(2；（3）f(x)＝)1lg(2xx。[例4]若函数)(xf2sin(3)x，[25,3]x为奇函数，其中)2,0(，则的值是。2（2）奇函数的图象关于对称；偶函数的图象关于对称.（3）函数奇偶性的性质：①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性.②若()fx为偶函数，则()()(||)fxfxfx.③若奇函数()fx定义域中含有0，则必有(0)0f.[例5]（1）若定义在R上的偶函数()fx在(,0)上是减函数，且)31(f=2，则不等式2)(log81xf的解集为______.（2）若22()21xxaafx·为奇函数，则实数a＝____.[例6]（1）奇函数f(x)的定义域是R，当x＞0时，f(x)＝－x2＋2x＋2，求f(x)在R上的表达式。（2）已知奇函数)(xf是定义在)2,2(上的减函数,若0)12()1(mfmf，求实数m的取值范围。3、函数的周期性：（1）定义：（2）常见函数的周期性：xysin,xycos，xytan的最小正周期分别为。函数)sin(xAy)0(的最小正周期分别为。（3）类比“三角函数图像”得：①若()yfx图像有两条对称轴,()xaxbab，则()yfx是周期函数，且一周期为2||Tab；②若()yfx图像有两个对称中心(,0),(,0)()AaBbab，则()yfx是周期函数，且一周期为2||Tab；③如果函数()yfx的图像有一个对称中心(,0)Aa和一条对称轴()xbab，则函数()yfx必是周期函数，且一周期为4||Tab；（4）由周期函数的定义得：①函数()fx满足xafxf，则()fx是周期为2a的周期函数；②若1()(0)()fxaafx恒成立，则2Ta；③若1()(0)()fxaafx恒成立，则2Ta.3[例7]（1）已知定义在R上的函数()fx是以2为周期的奇函数，则函数)(xfy在[2,2]上至少有__________个零点；(2)设)(xf是),(上的奇函数，)()2(xfxf，当10x时，xxf)(，则)5.47(f等于_____；（4）已知()fx是偶函数，且(1)f=993，()gx=(1)fx是奇函数，则)2013(f的值为；二、函数图像1、常见变换作图。（1）平移变换：将函数)(xfy的图象平移a（a0）个单位，所得的函数解析式：①向右平移②向左平移③向上平移④向下平移（2）伸缩变换：函数xfyxfy)0(;函数xfyxAfy)0(A（3）对称变换：①整体对称变换：函数)(xfy关于x轴对称的函数解析式为；函数)(xfy关于y轴对称的函数解析式为；函数)(xfy关于原点对称的函数解析式为；②局部对称变换：函数)(xfy的图象经怎样的翻折变换可得到对应的解析式：（1）|)(|xfy（2）|)(|xfy[例1]、作下列函数的图象，并且根据图象说出其单调区间⑴1xxy⑵y=x(|x|-2)⑶y=|x-1|+|2x+3|（4）)33(1322xxxy4[例2]（1）将函数)1(log3xy的图象向左平移一个单位得C1，再作C1关于y轴的对称曲线C2，将C2向下平移两个单位得C3，作C3关于直线y=x的对称曲线C4，那么C4的方程为.（2）设()2,()xfxgx的图像与()fx的图像关于直线yx对称，()hx的图像由()gx的图像向右平移1个单位得到，则()hx为__________[例3]（1）函数()lg(2)1fxxx的零点个数有____个；（2）如若函数(21)yfx是偶函数，则函数(2)yfx的对称轴方程是_______；（3）将函数aaxby的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线xy对称,那么（）0,1)(baARbaB,1)(0,1)(baCRbaD,0)(总结：1、作图：描点法和利用基本函数图象变换（平移变换、对称变换和伸缩变换等）；2、识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面．3、用图：讨论函数的性质、确定方程解的个数、解不等式……4、函数图像的对称性。（1）常见函数的对称性：①函数)0(abaxy的对称中心为，对称轴为。②函数)0(2acbxaxy的对称轴为。③函数)0(kxky的对称中心为。④函数)0(kxkxy的对称中心为。（2）满足条件)()(xbfaxf的函数的图象关于直线对称。[例4]（1）已知二次函数)0()(2abxaxxf满足条件)3()5(xfxf且方程xxf)(有等根，则)(xf＝_____；（2）已知函数)(1)(Raxaaxxf。则函数)(xf的图像的对称中心为；