专题函数单调性的证明

1函数单调性的证明函数的单调性需抓住单调性定义来证明，这是目前高一阶段唯一的方法。一、证明方法步骤为：①在给定区间上任取两个自变量1x、2x且1x＜2x②将1fx与2fx作差或作商（分母不为零）③比较差值（商）与0（1）的大小④下结论，确定函数的单调性。在做差比较时，我们常将差化为积讨论，常用因式分解（整式）、通分（分式）、有理化（无理式）、配方等手段。二、常见的类型有两种：（一）已知函数的解析式：例1：证明：函数1=x-1fx在x∈（1，+∞）单调递减例2：证明：函数3=x+x+1xfxR在∈时单调递增例3：证明：函数2=x-1x[1+fx在∈，）时单调递增例4：讨论函数1=x+1+x-1fx在（，）的单调性，并求最小值例5：求函数x+2=x-1fx的单调区间2练习：1、证明函数a=x+a0a+xfx（＞）在（，）单调递增2、讨论函数2=1+x-xfx的单调性（二）抽象函数的单调性：抽象函数的单调性关键是抽象函数关系式的运用，同时，要注意选择作差还是作商，这一点可观察题意中fx与0比较，应作差；与1比较，应作商。如下三例：例1：已知函数𝑓(𝑥)满足x、y∈R时，𝑓(𝑥+y)=𝑓(𝑥)+𝑓(𝑦)恒成立，且当x＞0时，𝑓(𝑥)＞0.证明：𝑓(𝑥)在R上单调递增.例2：已知函数𝑓(𝑥)满足x、y∈R时，𝑓(𝑥y)=𝑓(𝑥)+𝑓(𝑦)恒成立，且当x＞1时，𝑓(𝑥)＞0.证明：𝑓(𝑥)在(0,+∞)上单调递增.例3：已知函数𝑓(𝑥)满足x、y∈R时，𝑓(𝑥y)=𝑓(𝑥)𝑓(𝑦)恒成立，且当x＞1时，𝑓(𝑥)＞1.若𝑓(𝑥)≠0.证明：𝑓(𝑥)在(0,+∞)上单调递增.练习：1、已知函数fx对于任意的x、y∈R，总有2+=+yx00=-.3y1fxffxfxf，且当＞时，＜；（1）求证：fx在R上是减函数（2）求fx在[-3，3]上的最大值与最小值32、已知函数mnm+nmn+=+1fxRRfff的定义域为，且、∈，恒有，且=1-20f，当x＞1-2时，fx＞0.（1）求证：fx是单调递增函数（2）求fx在[-2,2]的最大值与最小值.3、定义在R上的函数fx恒为正，且满足+y=yfxfxf，当x＞0时，fx＞1.（1）证明：fx在R上单调递增.（2）若函数fx的定义域为[-1,1]时，解不等式2-1fx＞2fx4、函数fx的定义域为R，对于任意的a、b∈R皆有+=b+b1aa+fff，且x＞0时，fx＞1（1）求证：fx是R上的增函数（2）若243m-m-2=53ff，解不等式＜