专题限时集训(7)[理数通用][2012二轮作业手册]

第1页共5页专题限时集训(七)[第7讲平面向量](时间：10分钟＋35分钟)1．若向量a、b、c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()A．4B．3C．2D．02．若非零向量a、b满足|a＋b|＝|b|，则()A．|2a||2a＋b|B．|2a||2a＋b|C．|2b||a＋2b|D．|2b||a＋2b|3．已知向量a＝(7，1)，b＝(－1,3)，c＝(k，7)．若a－2b与c共线，则k＝________.4．已知e1，e2是夹角为2π3的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2,若a·b＝0，则实数k的值为________．1．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝52，则|b|＝()A.5B.10C．5D．252．在△ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足PA→＋PB→＋PC→＝AB→，QA→＋QB→＋QC→＝BC→，RA→＋RB→＋RC→＝CA→，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为()A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．1∶53．如图7－1，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是边BC上的高，则AD→·AC→的值等于()图7－1A．0B．4C．8D．－44．等腰直角三角形ABC中，A＝π2，AB＝AC＝2，M是BC的中点，P点在△ABC内部或其边界上运动，则BP→·AM→的取值范围是()A．[－1,0]B．[1,2]C．[－2，－1]D．[－2,0]5．已知点O为△ABC的外心，且|AC→|＝4，|AB→|＝2，则AO→·BC→＝________.6．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α和β的夹角θ的取值范围是________．第2页共5页7.已知a＝(cosx＋sinx，sinx)，b＝(cosx－sinx,2cosx)．(1)求证：向量a与向量b不可能平行；(2)若a·b＝1，且x∈[－π，0]，求x的值．8．设平面向量a＝(cosx，sinx)，b＝(cosx＋23，sinx)，c＝(sinα，cosα)，x∈R.(1)若a⊥c，求cos(2x＋2α)的值；(2)若x∈0，π2，证明a和b不可能平行；(3)若α＝0，求函数f(x)＝a·(b－2c)的最大值，并求出相应的x的值．第3页共5页专题限时集训(七)【基础演练】1．D【解析】因为a∥b且a⊥c，所以b⊥c，所以c·(a＋2b)＝c·a＋2b·c＝0.2．C【解析】因为|a＋b|＝|b|，所以a·(a＋2b)＝0，即a⊥(a＋2b)，因此|a|、|a＋2b|、|2b|构成直角三角形的三边，|2b|为斜边，所以|2b||a＋2b|，选择C.3．－7＋275【解析】因为a－2b＝(7＋2，－5)，由a－2b与c共线，有k7＝－7＋25，可得k＝－7＋275.4.54【解析】因为a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝ke21＋(1－2k)(e1·e2)－2e22，且|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝－12，所以2k－12－2＝0，即k＝54.【提升训练】1．C【解析】|a＋b|＝52⇒|a|2＋2a·b＋|b|2＝50⇒5＋20＋|b|2＝50⇒|b|＝5.2．B【解析】由PA→＋PB→＋PC→＝AB→，PA→＋PC→＝AB→－PB→，即PA→＋PC→＝AB→＋BP→，PA→＋PC→＝AP→，∴PC→＝2AP→，P为线段AC的一个三等分点，同理可得Q、R的位置，△PQR的面积为△ABC的面积减去三个小三角形面积，取△ABC为正三角形，不难得出面积比为1∶3.3．B【解析】BD＝ABcos30°＝23，所以BD→＝32BC→.故AD→＝BD→－BA→＝32BC→－BA→.又AC→＝BC→－BA→.所以AD→·AC→＝32BC→－BA→·(BC→－BA→)＝32BC→2－1＋32BA→·BC→＋BA→2.BC→2＝BA→2＝16，BC→·BA→＝4×4×cos30°＝83，代入上式得AD→·AC→＝83－1＋32×83＋16＝4.4．D【解析】以点A为坐标原点，射线AB，AC分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则B(2,0)，M(1,1)．设P(x，y)，则由于点P在△ABC内部或其边界上运动，故x≥0，y≥0且x＋y≤2.BP→＝(x－2，y)，AM→＝(1,1)，BP→·AM→＝x－2＋y，所以BP→·AM→的取值范围是[－2,0]．5．6【解析】如图，由于三角形外心是三角形三边中垂线的交点，故取BC的中点D，则AO→＝AD→＋DO→，而DO→⊥BC→，这样所求的数量积就是AD→·BC→，再根据向量加法和减法的几何意义即可把所求的数量积用AC→，AB→表示．第4页共5页AO→·BC→＝AD→·BC→＝12(AB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝12(AC→2－AB→2)＝6.6.π6，5π6【解析】由题意得，|α||β|sinθ＝12，∵|α|＝1，|β|≤1，∴sinθ＝12|β|≥12.又∵θ∈(0，π)，∴θ∈π6，5π6.7．【分析】第(1)问利用反证法证明，先假设a∥b，易推出矛盾，故结论正确．第(2)问利用二倍角公式及辅助角公式将结果化为Asin(ωx＋φ)的形式，易得x的值．【解答】(1)证明：假设a∥b，则2cosx(cosx＋sinx)＝sinx(cosx－sinx)．即2cos2x＋2sinxcosx＝sinxcosx－sin2x,1＋sinxcosx＋cos2x＝0，1＋12sin2x＋1＋cos2x2＝0，即2sin2x＋π4＝－3⇒sin2x＋π4＝－322.而sin2x＋π4∈[－1,1]，－322－1，矛盾．故假设不成立，即向量a与向量b不可能平行．(2)a·b＝(cosx＋sinx)(cosx－sinx)＋2sinxcosx＝cos2x－sin2x＋sin2x＝cos2x＋sin2x＝2sin2x＋π4，a·b＝1⇒sin2x＋π4＝22.又x∈[－π，0]，∴2x＋π4∈[－7π4，π4]，∴2x＋π4＝－7π4或2x＋π4＝－5π4或2x＋π4＝π4，∴x＝－π或x＝－3π4或x＝0.8．【分析】(1)利用a·c＝0解；(2)利用反证法证明a与b不可能平行；(3)通过数量积的运算，求f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的最值．【解答】(1)若a⊥c，则a·c＝0，cosxsinα＋sinxcosα＝0，sin(x＋α)＝0，所以cos(2x＋2α)＝1－2sin2(x＋α)＝1.(2)证明：假设a和b平行，则cosxsinx－sinx(cosx＋23)＝0，即23sinx＝0，sinx＝0，而x∈0，π2时，sinx0，矛盾．故假设不成立，所以a和b不可能平行．(3)若α＝0，则c＝(0,1)，则f(x)＝a·(b－2c)＝(cosx，sinx)·(cosx＋23，sinx－2)第5页共5页＝cosx(cosx＋23)＋sinx(sinx－2)＝1－2sinx＋23cosx＝1＋4sinx＋2π3，所以f(x)max＝5，此时，x＝2kπ－π6，k∈Z.