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当前位置:首页 > 机械/制造/汽车 > 汽车理论 > 15曲边梯形的面积与汽车行驶的路程高XXXX级
1Oabxy)(xfy2?1,nnNn时,思考:若001limnn可记为:_______;12347lim.4_______;123lim.3_______;)113(lim.2_______;1lim.12332222nnnnnnnnnnnnn练习:013373__________321.1n复习:2)1(nn__________321.22222n__________321.33333n6)12)(1(nnn22)1(nn4我们已经学会了正方形,三角形,梯形等面积的计算。情景设计:面积但我们生活与工程实际中经常接触的大都是曲边图形,他们的面积怎么计算呢?这些图形有一个共同的特征:每条边都是直的线段。5如何求曲线下方“曲边梯形”的面积。xy0xy0xyo直线几条线段连成的折线曲线?微积分在几何上有两个基本问题1.如何确定曲线上一点处切线的斜率;2.如何求曲线下方“曲边梯形”的面积。6y=f(x)baxyOSS1+S2++Sn将曲边梯形分成n个小曲边梯形,并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积,于是曲边梯形的面积S近似为S1SiSn曲边梯形的面积7y=f(x)baxyOS1SiSn曲边梯形的面积分割越细,面积的近似值就越精确。当分割无限变细时,这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S。8下面看“以直代曲”的具体操作过程例:直线x0、x1、y0及曲线yx2所围成的图形(曲边三角形)面积S是多少?35.1图ox1y2xy935.1图ox1y2xyn1ini,1,n1n,,n2,n1,n1,0:n,1n1,01个小区间分成将它等个点隔地插入上间在区间分割.n1n1inixΔ,n,,2,1ini,n1ii其长度为个区间为记第轴的个点作分别过上述x1n.SΔS,.SΔ,,SΔ,sΔ,35.1n,n1iin21显然它们的面积记作图个小曲边梯形把曲边梯形分成垂线1035.1图ox1y2xyn1ini45.1图n1inix12xyyo轴的直线段近似用平行于就是从图形上看值处的函数等于左端点不妨认为它近似地个常数近似等于一的值变化很小可以认为函数上在区间很小时即很大当如图记近似代替xnifnixxfninixnxxf,.11,,,,1,,,35.1.2221135.1图ox1y2xyn1ini45.1图n1inix12xyyo.,,2,1111,,,,1,.45.12''ninnixnifSSSSniniiiii则有以直代曲即在局部小范围内近似地代替的面积用小矩形上间在区这样图边地代替小曲边梯形的曲12nnixnifSSSnininiinn11145.1,232111'为中阴影部分的面积图由求和nnn11102nnn11222231211nn612113nnnn.2111131nn.2111131nnSSSn的近似值从而可得13.312111131lim11limlim,2111131,0,,,55.1,20,,8,41,041nnnifnSSSnnSxnnninnnn从而有趋向于时于趋向即趋向于无穷大当可以看到图等份等分成分别将区间取极限55.1图oy2xy1xy2xy1xoy2xy1xoy2xy1xo分割以直代曲作和逼近14nx1过每个分点作x轴的垂解:(1)分割:将区间[1,2]n等分,则每个区间]1,11[nini的长度为线,将原曲边梯形分割为n个小曲边梯形;(2)近似替代以每个区间的左端点的函数值为宽作n个小矩形,当n很大时,用这n个小矩形的面积和近似替代曲边梯形的面积S;.xy0y2,x1,x2积所围成的曲边梯形的面与曲线练习:求直线15(3)求和ninininnifnnnifxnifS121212)11(11)11()11()])1(321())12(321[(1))12()2()1((1222222322222222nnnnnnnnnnnn)37)(12(61nn(4)取极限37)]37)(12(61[limlimnnSSnnn即曲边梯形的面积为3716y=f(x)baxyOx1xi-1xixn-1x2xif(xi)x1x2f(x1)f(x2)f(xi)xi•在[a,b]中任意插入n1个分点.•得n个小区间:[xi1,xi](i=1,2,···,n).•把曲边梯形分成n个窄曲边梯形.•任取xi[xi1,xi],以f(xi)xi近似代替第i个窄曲边梯形的面积.•区间[xi1,xi]的长度xixixi1.•曲边梯形的面积近似为:Aniiixf1)(x.方法小结17分割近似代换求和取极限•曲边梯形的面积近似为:niiixf1)(x.)(lim1ininfnabSx18利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系,求物体运动速度”的问题.反之,如果已知物体的速度与时间的关系,如何求其在一定时间内经过的路程呢?问题:汽车以速度v组匀速直线运动时,经过时间t所行驶的路程为Svt.如果汽车作变速直线运动,在时刻t的速度为22vtt(单位:km/h),那么它在0≤t≤1(单位:h)这段时间内行驶的路程S(单位:km)是多少?汽车行驶的路程19分析:与求曲边梯形面积类似,采取“以不变代变”的方法,把求匀变速直线运动的路程问题,化归为匀速直线运动的路程问题.把区间[0,1]分成n个小区间,在每个小区间上,由于()vt的变化很小,可以近似的看作汽车作于速直线运动,从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值,在求和得S(单位:km)的近似值,最后让n趋紧于无穷大就得到S(单位:km)的精确值.(思想:用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程).20解:1.分割在时间区间0,1上等间隔地插入1n个点,将区间0,1等分成n个小区间:10,n,12,nn,…,1,1nn记第i个区间为1,(1,2,,)iiinnn,其长度为11iitnnn把汽车在时间段10,n,12,nn,…,1,1nn上行驶的路程分别记作:1S,2S,…,nS显然,1niiSS21(2)近似代替当n很大,即t很小时,在区间1,iinn上,可以认为函数22vtt的值变化很小,近似的等于一个常数,不妨认为它近似的等于左端点1in处的函数值2112iivnn,从物理意义上看,即使汽车在时间段1,iinn(1,2,,)in上的速度变化很小,不妨认为它近似地以时刻1in处的速度2112iivnn作匀速直线运动22即使汽车在时间段即在局部小范围内“以匀速代变速”,于是的用小矩形的面积iS近似的代替iS,则有21112iiiiSSvtnnn2112(1,2,,)iinnnn①23(3)求和由①得,21111112nnnniiiiiiSSvtnnnn=221111102nnnnnn=222311212nn=3121126nnnn=11111232nn从而得到S的近似值11111232nSSnn24(4)取极限当n趋向于无穷大时,即t趋向于0时,11111232nSnn趋向于S,从而有111limlimnnnniiSSvnn1115lim112323nnn25思考:结合求曲边梯形面积的过程,你认为汽车行驶的路程S与由直线0,1,0ttv和曲线22vt所围成的曲边梯形的面积有什么关系?结合上述求解过程可知,汽车行驶的路程limnnSS在数据上等于由直线0,1,0ttv和曲线22vt所围成的曲边梯形的面积.思考26一般地,如果物体做变速直线运动,速度函数为vvt,那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法,利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想,求出它在a≤t≤b内所作的位移S.结论27的值变化很小很大时,当的值不变化的值变化很大的值变化很小上,在区间函数f(x)nD.,C.f(x)B.f(x),A.f(x),n1-ixf(x).12ni课堂练习:D28.0A.f,C.f,2.f,1A.f,n1-ixf(x)n.22ninBnni函数的近似值代替的是上的值,可以用下列在区间很大时,函数当C29.D.,C.)f(xB.),f(xA.,xf(x).31ii1i以上答案都正确的函数值可以是该区间内任一点只能是右端点的函数值只能是左端点的函数值上近似值等于在区间数在“以直代曲”中,函ixC304.求直线x=1,x=2,y=0与曲线y=x3所围成的曲边梯形的面积.[解析](1)分割:把求面积的曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形,用分点n+1n,n+2n,…,n+(n-1)n把区间[1,2]等分成n个小区间1,n+1n,n+1n,n+2n,…,n+in,n+i+1n,…,n+(n-1)n,2,每个小区间的长度为Δx=n+i+1n-n+in=1n,过各分点作x轴的垂线,把曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形,如图,31它们的面积分别记作ΔS1,ΔS2,…,ΔSn.(2)近似代替:取各小区间的左端点ξi,用以点ξi的纵坐标(ξi)3为一边,以小区间长Δx=1n为另一边的小矩形面积近似代替第i个小曲边梯形面积,可以近似地表示为:ΔSi≈(ξi)3·Δx=n+in3·1n(i=0,1,2,3,…,n-1).32•(3)求和:•因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值,所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD面积S的近似值,即S=i=0n-1ΔSi≈i=0n-1n+in3·1n(i=0,1,2,3,…,n-1)①33•(4)求极限:•当分点数目愈多,即Δx愈小时,和式①的值就愈接近曲边梯形ABCD的面积S.因此,n→+∞即Δx→0时,和式①的极限就是所求的曲边梯形ABCD的面积.因为i=0n-1n+in3·1n=1n4i=0n-1(n+i)3=1n4i=0n-1(n3+3n2i+3ni2+i3)=1n4[n4+3n2·n(n-1)2+3n·16(n-1)n(2n-1)+14(n-1)2n2],所以S=limn→+∞i=0n-1
本文标题:15曲边梯形的面积与汽车行驶的路程高XXXX级
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