三维取向短纤维增强复合材料弹性模量的计算

基金项目：科研院所技术开发研究专项资金项目（NCSTE-2006-JK-ZX-129）作者简介：赵延军（1977-），男，硕士1三维取向短纤维增强复合材料弹性模量的计算赵延军1刘春太2李克华1史冬丽1（1.郑州磨料磨具磨削研究所，郑州450013）（2.郑州大学橡塑模具国家工程研究中心，郑州450002）摘要：基于单向取向纤维增强复合材料的力学性能计算模型，借助于纤维取向分布函数及坐标转换，建立了三维取向短纤维增强复合材料弹性模量的数值计算模型。按该模型对短纤维增强树脂基复合材料的弹性模量进行计算，并将其结果与同类材料的实验结果比较验证。结果表明，该模型的预测具有较好的准确性。关键词：纤维取向，弹性模量，短纤维增强复合材料短纤维增强树脂基复合材料由于具有较高的强度、弹性模量、刚度，以及抗蠕变性能好等优点，近年来得到了广泛的应用。该类制品的成型过程中，由于模腔几何形状的不同，成型条件特别是填充速度的差异，纤维及基体材料的物理性能不同，使成型后的制品不同部位呈现不同的纤维取向。一般来说，短纤维在制品中的取向是三维的。而纤维增强复合材料的弹性模量等力学性能及热物理性能依赖于基体和纤维的本身性能、纤维含量、纤维的取向状态和纤维与基体间界面结合。因此，研究短纤维增强复合材料的基体和纤维的性能、纤维含量、纤维的取向状态与弹性模量等力学性能之间的关系，对制品及模具设计、提高纤维增强复合材料制品的质量等具有重要的指导意义。1.单向取向纤维增强复合材料力学性能的计算许多研究者对单向取向纤维增强复合材料的力学性能预测方面已经做了大量的研究工作，并得到了很多在理论和工程上都比较有用的理论或半理论半经验模型。其中包括自恰模型、Mori-Tanaka模型、Tendon-Weng模型及Halpin-tsai模型等。在上述各种模型中，通过对比研究发现，Tendon-Weng充分考虑了纤维长径比、纤维体积百分含量、及复合材料各组分的物性参数对复合材料力学性能的影响及纤维之间的相互作用，无论在纤维体积百分含量较低或较高时都有较好的准确性。因此，本文将以此模型为单向取向纤维增强复合材料力学性能的计算模型。在纤维在复合材料中呈单向取向、基体和纤维呈现横观各向同性的前提下，并结合一定的边界条件，Tendon-Weng模型推出单向取向纤维增强复合材料的弹性模量、剪切模量及泊松比分别为：11121(2)/mmEEcAAA（1）223451[2(1)(1)]/2mmmmEEcAvAvAAA（2）01212122(1)/()mmfmGcGGGGGcE（3）2323232(1)/()mmmfmGcGGGGGcE（4）341212()(2)mmmvAcAvAvAcAvA（5）其中，E、G、v分别表示弹性模量、剪切模量和泊松比，下标m和f分别代表聚合物基体和增强纤维，c为复合材料中纤维所占的体积百分含量，E1212、E2323为Eshelby张量的分量，A、A1、A2、A3、A4、A5分别为纤维体积百分含量、长径比及Eshelby张量的显式函数[1]。2．纤维取向分布函数将短纤维增强的塑料熔体近似为浓悬浮液，假设纤维为圆柱形刚体，长度和直径均匀，则可用单位矢量P等效描述纤维取向。矢量P的方向与纤维轴线重合（如图1）。而空间一点的纤维取向状态可用取向分布函数Ψ(P)描述，Ψ(P)定义为一根纤维取向于向量P方向的概率。图1纤维空间取向角的定义2其中，1cosP,2sincosP,3sinsinP(6)在上述假设下，单根纤维在空间某一点的取向行为可以用图1中的角度（θ,φ）定义，空间中一点的取向状态可以采用概率分布函数Ψ(θ,φ)描述。概率分布函数Ψ(θ,φ)的定义为：在角θ1和θ1+dθ，φ1和φ1+dφ区域内发现一个纤维的可能性，即，1111111(,)(,)sinPdddd（7）由函数Ψ（θ,φ）的定义可知，它必须满足一定的物理条件。首先，纤维在角度θ，φ和(π-θ,φ-π)上取向无区别，即满足周期性条件：,),)（（-(8)其次，因为每根纤维都取向Ψ(θ,φ)，则满足正则化条件：200sin1dd(9)最后，Ψ(P)必须满足连续性条件：1()()sinDDt(10)上述纤维取向分布函数完整，严格地描述了纤维取向状态，而且其物理意义十分明确，可以由工艺条件计算得到。3.三维取向短纤维增强复合材料模型及其简化在注塑或模压短纤维增强复合材料的成型过程中，由于剪切流动、模具型腔形状及其它工艺参数的影响，都存在着不同程度的三维纤维取向。即使在薄壁制品中，纤维取向也只是近似的两维取向。所以，在计算实际纤维增强复合材料的力学性能时，必须把纤维取向这一重要的影响因素考虑在内。研究发现，短纤维增强复合材料的弹性模量仅与纤维取向方向和主方向的夹角，即θ角有关，与φ关系不大[2]。因此可用只有平面取向的假想复合材料层的叠加来代替具有三维空间取向的实际复合材料。在理论上即可用平面纤维取向分布函数Ψ(θ)来代替空间纤维取向分布函数Ψ(θ,φ)来计算实际复合材料的弹性常数。Ψ(θ)表示单根纤维在θ到θ+dθ，φ从0到2π区域间内的概率。这样，就把三维取向的复合材料简化为具有不同θ角的材料层组成的层片组。该转换过程可用图2直观的表示出来。图2（a）为具有空间随机取向的实际短纤维复合材料，从图中可以看到，实体各面都有纤维末端穿过，说明实际复合材料的纤维取向是随机的。如要计算1方向的弹性模量，则以1方向为主方向，如图中坐标系所示。θ表示纤维取向方向与轴1方向的夹角。由于只需考虑θ角，所以可用Ψ（θ）代替Ψ（θ,φ），实际随机纤维取向的复合材料简化为具有不同取向角φ（φ=α，α为0到2π之间的某一值，θ为任意值）的不同材料层。图2三维取向短纤维增强复合材料代表单元及模型简化以φ=0º为例，如图2(b)所示。因为所有纤维都平行于1-2面，所以在1-2方向的法向平面中都有纤维穿过，而在1-2面中没有纤维穿过。将图2(b)所示的假想材料进一步分解，即可得到图2(c)中的具有不同θ取向角的单向取向层状材料。由图可见，各层中纤维都呈单向取向，且取向由平行于轴1方向渐变至垂直于轴1方向，即θ角从0º渐增至90º。4.三维取向短纤维增强复合材料弹性模量的计算按图2所示的分解模型，可以分5步由各单向取向纤维增强复合材料层的弹性模量得到复合材料的弹性模量。1）用Tendon-Weng模型求得各单向取向层材料的弹性模量；2）由1）中所得的各层弹性模量，结合弹性()c90......0900()b()a1233模量与刚度系数的关系求出各层的刚度系数Cij。即，11111221(1)CEvv(11)122111CvC(12)122111CvC(13)22221221(1)CEvv(14)260C(15)6612CG(16)3)由转角公式将偏轴刚度系数转化为正轴刚度系数。即'44222211'4422221122'222244222212'2222222221266'3333336616'33333326242442()2()2()CmnmnmnCCnmmnmnCCmnmnmnmnCCmnmnmnmnCCmnmnmnmnmnmnCmnmnmnmnmnmn(17)其中，m=cosθ，n=sinθ。4）将各层的刚度系数进行积分得到实际复合材料的刚度系数：maxmin'()ijijCCgd(18)其中，0º≤θmin≤θ≤θmax≤90º。5)最后再由刚度系数与弹性模量的关系求出实际具有三维取向的短纤维增强复合材料的弹性模量：11211221222()/ECCCC(19)22211221211()/ECCCC(20)1266GC(21)121222/vCC(22)5.计算结果与分析纤维取向分布函数具有很明显的物理意义，并能完全、清晰地描述纤维取向分布状态，但其不利之处是非常麻烦，利用数值分析几乎不可能完成这些计算任务。故本文用纤维取向分布函数对模型进行描述，但在实际纤维取向的数值计算中，则采用了一个二阶取向张量[3]来代替取向分布函数。即dPPppajiij)((23)由于该纤维取向张量是一个表征纤维取向状态的二阶实对称张量，故可用Yacabi方法计算出对应的特征向量及特征值，即：1212330000:00ijaeee(24)该特征向量的在物理上表示纤维可能的取向，与之对应的特征值表示纤维在特征向量方向取向的可能性。分别由各特征向量求出其取向角θ，代入偏轴刚度系数与正轴刚度系数之间的转换矩阵并用离散的值代替连续的纤维分布函数Ψ(θ)即可算出复合材料的弹性模量值。于是，式18可变为：maxmin'ijijCC(25)其中，λθ表示取向角为θ的短纤维所对应特征向量对应的特征值。利用上述三维纤维取向复合材料弹性模量计算模型，对具有完全随机三维取向的短纤维增强聚合物基复合材料的弹性模量进行了计算。算例中所用纤维和基体的力学及其它性能参数见表1。该算例分别计算了纤维质量百分比为30％和40％两种含量的E-玻璃纤维增强PPS的力学性能。由于选定的复合材料的代表体积单元的纤维呈三维完全随机取向，所以，可认为该材料是各向同性的。表2分别将这两种不同纤维含量的复合材料弹性模量的理论计算结果与Cheng[4]的实验结果进行了对比，并计算了理论值与实验值的误差。由表中的数据对比可以看出，该模型预测值与实验值的最大误差率为6.87％，平均误差为5.12％，说明该模型的计算结果能满足计算要求。表1算例中所用纤维和基体材料的性能参数材料E（GPa）G（GPa）v平均长径比aPPS41.430.4/E-glassfiber7630.40.25254表2弹性模量实验值与理论值的对比质量百分比（%）体积百分比（%）E(实验)（GPa）E(计算)（GPa）E（误差）（%）3018.59.059.420974.094026.111.0911.77166.14图3给出了利用该模型计算所得三维完全随机纤维取向玻璃纤维增强PPS的弹性模量E随纤维体积百分数的变化曲线。由图可见，在该复合材料中，弹性模量E随纤维体积百分含量的增加而增大。其变化趋势与实际复合材料的弹性模量随纤维体积含量增加时的变化规律一致。0102030405060708000.20.40.60.81FiberVolumeFraction,cElasticmodulus,E计算值实验值图3弹性模量E随纤维体积百分数的变化曲线6.结论基于单向取向纤维增强复合材料力学性能计算的Tendon-Weng模型，借助于纤维取向分布函数及坐标转换，建立了具有三维取向短纤维增强聚合物基复合材料弹性模量的简单数值计算模型。利用该模型对具有完全随机三维取向的短纤维增强PPS的弹性模量进行了计算，并将其结果与同类材料的实验结果进行了比较。结果表明，该模型的预测具有较好的准确性。参考文献1.G.P.Tandon,G.J.Weng.PropertiesofUnidirectionallyAlignedComposites[J].PloymerComposites,1984,5(4):327-333.2.Shao-YunFu&BerndLauke.Theelasticmodulusofmisalignedshort-fiber-reinforcedpolymers[J].CompSciTechnol,1998,58:389-400.3.AdvaniS.G,TuckerC.L..TheUseofTensorstoDescribeandPredictFiberOrientationinShortF