两个回归方程间的比较

上述统计量还有一个用途：进行两个回归方程间的比较。即检验H0:1=2和H0:1=2。如果两H0均被接受，则可认为两组数据是抽自同一总体，从而可将两回归方程合并，得到一个更精确的方程。我们通过例题具体方法加以说明。两个回归方程间的比较两组实验数据x19193949698102105108y16668697173788285x280828587899195y255576062646771xy组别nSxxSyySxyMSeba1898.37574.0257.875336.0294.00.13571.140-38.152787.062.286162.0187.429174.00.10801.074-31.15222122210:,:AHH2565.11080.01357.021eeMSMSF查表，F0.975(6,5)=6.978F,接受H0，可认为两总体方差相等。计算公共的总体方差：1231.0111080.051357.064)2()2(212211nnMSnMSnMSeee首先检验总体方差是否相等检验回归系数1与2是否相等检验回归系数1与2是否相等8766.103517.0066.0)1621875.2571(1231.0074.1140.1)11(2121222121xxxxebbSSMSbbSSbbtt0.975(11)=2.201t,接受H0，可认为两回归系数相等。共同总体回归系数的估计值为：1146.1162875.2571742942121212211xxxxxyxyxxxxxxxxSSSSSSbSbSb再检验1，2是否相等H0:1=2；HA:121702.222556.37)16287875.257375.987181(1231.015.3115.38)11(222222121121222121xxxxeaaSXnSXnMSaaSSaat查表，t0.975(11)=2.201,接受H0，可认为:1=2。,)11(975.0ttSxx=902.9333,Sxy=965.4667,Syy=1035.7333,=93.067,=68.533,xyb===1.0693,xxxySSa===−30.9787xby从而得到合并的回归方程xy0693.19787.30ˆ合并的回归方程一对回归方程的统计检验除可用上述t检验外，还有一些其他方法。这里我们再介绍一种方差分析的方法，它的基本思想仍是对平方和的分解一元回归的方差分析无重复的情况nininiiiiiyyyyyy111222)ˆ()ˆ()(即：Syy=SSe+SSRy的总校正平方和残差平方和回归平方和自由度：n-1n-21Se可作为总体方差2的估计量，而MSR可作为回归效果好坏的评价。如果MSR仅由随机误差造成的话，说明回归失败，X和Y没有线性关系；否则它应显著偏大。因此可用统计量)2/(nSSSSMSMSFeReR解：由以前计算结果：Syy=210.2，df=4;SSe=3.1704,df=3,SSR=210.2−3.1704=207.03,df=1查表得F0.95(1,3)=10.13,F0.99(1,3)=34.12FF0.99(1,3)，拒绝H0，差异极显著。即应认为回归方程有效。90.1953/1704.303.207F对例题作方差分析相关分析yyxxxyxySSSrr的下标xy是指明为x和y的相关系数，在不会引起混淆的情况下常常把它省略。类似地，由于最常用的是样本相关系数而不是总体相关系数，因此常把样本相关系数简称为相关系数yyeyyRyyxyyyxxxySSSSSSSbSSSSr122R值1r当时，从上式可看出SSe=0，即用可以准确预测y值。此时若X不是随机变量，则Y也不是随机变量了。这种情况在生物学研究中是不多见的1r当r=0时，SSe=Syy，回归一点作用也没有，即用X的线性函数完全不能预测Y的变化。但这时X与Y间还可能存在着非线性的关系当时，情况介于上述二者之间隔。X的线性函数对预测Y的变化有一定作用，但不能准确预测，这说明Y还受其他一些因素，包括随机误差的影响。10rr可以作为X，Y间线性关系强弱的一种指标。它的优点是非常直观，接近于1就是线性关系强，接近于0就是线性关系弱；而其他统计量都需要查表后才知检验结果。由于r是线性关系强弱的指标，我们当然希望能用它来进行统计检验。在一般情况下r不是正态分布，直接检验有困难。但当总体相关系数ρ=0时，r的分布近似于正态分布，线性关系强弱的一种指标相关系数的t检验这种检验与对回归系数b的检验是等价的。可证明如下：0:0H0:0Hb的t检验统计量为：t=b/Sb。b=Sxy/Sxx,21)2(1)1(1222nrSSSnSSSSSnbSSSMSSxxyyxxyyxxxyyyxxxyyyxxeb)2(~121212222ntrnrrnrrnSSSStyyxxxxxy作t检验求出例题回归系数r，并作统计检验99.13≈99242.0125×99242.0=12=99242.0≈2.210×905.136==22rnrZSSSryyxxxyt0.995(3)=5.841t,∴差异极显著，即X与Y有极显著的线性关系。相关系数与回归系数间的关系在X和Y均为随机变量的情况下，我们通常可以X为自变量，Y为因变量建立方程，也可反过来，以Y为自变量，X为因变量建立方程。此时它们的地位是对称的。X为自变量，Y为因变量，回归系b为：xxxySSb/Y为自变量，X为因变量，回归系数b’为：yyxySSb/'',22bbrbbSSSryyxxxy相关系数实际是两个回归系数的几何平均值。这正反映了相关与回归的不同：相关是双向的关系，而回归是单向的三种对回归方程作统计检验的方法对回归系数b作t检验，方差方析，对相关系数r作检验。对一元线性回归来说，它们的基本公式其实是等价的，因此结果也是一致的。但它们也各有自己的优缺点：对b的t检验可给出置信区间；方差分析在有重复的情况下可分解出纯误差平方和，从而可得到进一步的信息；相关系数则既直观，又方便（有专门表格可查），因此使用广泛。