不等式小结

一、不等式与不等关系1、不等式的主要性质（1-8）；2、应用不等式的性质比较两个实数的大小；作差法；3、应用不等式性质证明；二、一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解集：设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根三、线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C00022acbxaxcbxax或002acbxax2121xxxx且、acb42000cbxaxy20a的根002acbxax)(,2121xxxxabxx221的解集)0(02acbxax的解集)0(02acbxaxyx,yx,的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解四、基本不等式1、如果a,b是正数，那么2、变形（1）0,0ba，ab____2ba（2）222ba____ab（3）xxx1,0_________(4)0,0ba，ab____2)2(ba(5)0,0ba,222ba_____2ba_____ab_____ba1123、把握解含参数的不等式的注意事项).(2号时取当且仅当baabba解含参数的不等式时，首先应注意考查是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析△），比较两个根的大小。利用均值不等式求最值的方法均值不等式ababab200(，，当且仅当a＝b时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目，可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。一、配凑1.凑系数例1.当04x时，求yxx()82的最大值。解析：由04x知，820x，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2828xx()为定值，故只需将yxx()82凑上一个系数即可。yxxxxxx()[()]()821228212282282·当且仅当282xx，即x＝2时取等号。所以当x＝2时，yxx()82的最大值为8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。2.凑项例2.已知x54，求函数fxxx()42145的最大值。解析：由题意知450x，首先要调整符号，又()42145xx·不是定值，故需对42x进行凑项才能得到定值。∵xx54540，∴fxxxxx()()421455415432541543231()xx·当且仅当54154xx，即x1时等号成立。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。3.分离例3.求yxxxx271011()≠的值域。解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。yxxxxxxxx227101151411415()()()当x10，即x1时yxx214159()·（当且仅当x＝1时取“＝”号）。当x10，即x1时yxx521411()·（当且仅当x＝－3时取“＝”号）。∴yxxxx271011()≠－的值域为(][)，，19。评注：分式函数求最值，通常化成ymgxAgxBAm()()()00，，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。二、整体代换例4.已知abab0021，，，求tab11的最小值。解法1：不妨将11ab乘以1，而1用a＋2b代换。()()()111112ababab··12232322322baabbaabbaab·当且仅当2baab时取等号，由22121122baababab，得即ab21122时，tab11的最小值为322。解法2：将11ab分子中的1用ab2代换。abaabbbaabbaab2212232322评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到tbaab32，而2ba与ab的积为定值，即可用均值不等式求得tab11的最小值。例4.已知a0，b0，a＋b＝2，则y＝1a＋4b的最小值是()．A.72B．4C.92D．5解析∵a＋b＝2，∴a＋b2＝1，∴1a＋4b＝1a＋4ba＋b2＝52＋2ab＋b2a≥52＋22ab·b2a＝92当且仅当2ab＝b2a，即b＝2a时，“＝”成立，故y＝1a＋4b的最小值为92.答案C三、换元例5.求函数yxx225的最大值。解析：变量代换，令tx2，则xttytt222021()，则当t＝0时，y＝0当t0时，ytttt121122124·当且仅当21tt，即t22时取等号。故xy3224时，max。评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。四、取平方例6.求函数yxxx21521252()的最大值。解析：注意到2152xx与的和为定值。yxxxxxx222152422152421528()()()()()又y0，所以022y当且仅当2152xx，即x32时取等号。故ymax22。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。［练一练］1.若02x，求yxx()63的最大值。2.求函数yxxx133()的最小值。3.求函数yxxx2811()的最小值。4.已知xy00，，且119xy，求xy的最小值。参考答案：1.32.53.84.49不等式应用题例1.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()．A．60件B．80件C．100件D．120件解设每件产品的平均费用为y元，由题意，得y＝800x＋x8≥2800x·x8＝20.当且仅当800x＝x8(x0)，即x＝80时“＝”成立，例2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得)1600(720240000xxl29760040272024000016002720240000xx当.2976000,40,1600有最小值时即lxxx因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。例3.某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x(x≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q(x)＝3000＋50x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费最小值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)解设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，依题意得f(x)＝Q(x)＋8000×100004000x＝50x＋20000x＋3000(x≥12，x∈N)，f(x)＝50x＋20000x＋3000≥250x·20000x＋3000＝5000(元)．当且仅当50x＝20000x，即x＝20时上式取“＝”因此，当x＝20时，f(x)取得最小值5000(元)．所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5000元．例4.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比A1B1B1C1＝x，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；(2)要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？解(1)设休闲区的宽B1C1为a米，则其长A1B1为ax米，∴a2x＝4000⇒a＝2010x，∴S＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160＝4000＋(8x＋20)·2010x＋160＝80102x＋5x＋4160(x1)．(2)S≥1600＋4160＝5760(米2)(当且仅当2x＝5x⇒x＝2.5)，即当x＝2.5时，公园所占面积最小．此时a＝40，ax＝100，即休闲区A1B1C1D1的长为100米，宽为40米．例5.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)解(1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；当