不等式证明的若干方法

1不等式摘要：不等式在数学中具有重要的地位，熟练掌握不等式的证明尤为重要.不等式的证明方法灵活多样，技巧性和综合性较强，每种方法具有一定的适用性，并有一定的规律可循，所以证明不等式的方法可以因题而异，证明的方法也就有很多种.在本文中总结了初等数学中的一些常见的不等式证明的方法，和高等数学中的一些函数证法，以及用一些著名不等式的来证明不等式的方法.关键词：不等式；证明；方法第一章不等式的概念及基本性质证明不等式可以和证明恒等式作类比，就是要证明给定不等式对于其定义域中一切数都能成立.换句话说，即要证明它是一个绝对不等式.证明不等式的主要依据是不等式的性质，以及一些熟知的基本不等式.例如：，时等式成立当且仅当)(222baabba),(2b时等式成立同号，当且仅当bababaa),,(2时等式成立当且仅当baRbaabba不等式的证明方法有多种多样，下面这一章就是用一些常用的方法举例说明第一章证明不等式的常用方法1.1比较法比较法是直接作出所求证不等式两边的差（或商），然后推演结论的方法.具体的说，即通过“0ab，0ab，0ab；或1ab，1ab，1ab”来确定a，b大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法.例1已知：0a，0b，求证：abba2.分析：两个多项式的大小比较可用作差法证明：02)(2222baabbaabba，2故得abba2.例2设0ba，求证：abbababa.分析：对于含有幂指数类的用作商法证明：因为0ba，所以1ba，0ba.而1baabbabababa，故abbababa1.2分析法从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种方法叫做分析法.例3已知Nn，求证：nnnn2161412111215131111①证明：要证不等式①，只需证nnnn21614121)1(12151311②②式左边即121513122nnnn③②式右边即nnn21614121214121nnnn2161412141212④比较③和④，可知要证②成立，只须证nn216141212⑤3nn2161411215131⑥⑤、⑥两式显然成立，故不等式①成立运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，这样可以克服无目的的乱碰，从而加强针对性，较快地探明解题途.1.3综合法综合法是“由因导果”即从已知条件出发，依据不等式的性质，函数性质或熟知的基本不等式，逐步推导出要证明的不等式.例4已知122ba，求证：1cossinabaa证明：∵aaaasin2sin22，ababcos2cos22∴abaaabaacos2sin2cossin2222即abaacos2sin211∴1cossinabaa1.4数学归纳法对于含有)(Nnn的不等式，当n取第一个值时不等式成立，如果使不等式在)(Nnkn时成立的假设下，还能证明不等式在1kn时也成立，那么肯定这个不等式对n取第一个值以后的自然数都能成.例5已知：Rba,，Nn，1n，求证：11nnnnabbaba.证明:（1）当2n时，abababba222，不等式成立；（2）若kn时，11kkkkabbaba成立，则111111)()(kkkkkkkkkkbababbaababbaaba=kkkkkkkkkkabbabababbababbaabba21112)()2(，即kkkkabbaba11成立.根据（1）、（2），11nnnnabbaba对于大于1的自然数n都成立.1.5反证法4从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的，这种证明方法叫做反正法.用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形一一导出矛盾这里作一简单介绍.反证法证明一个命题的思路及步骤：1）假定命题的结论不成立；2）进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾;3）由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的;4）肯定原来命题的结论是正确的.例6设Rzyx,,，且1sinsinsin222zyx，求证：2zyx证明：假设2zyx①你这里的2zyx是否是2zyx，如果是，全部改过来则有220zyx因为正弦函数在区间2,0上是增函数，所以zzyxcos2sin)sin(②②式两边都为正数，两边平方，得yxyxyxyxsincoscossin2sincoscossin2222yxzz2222sinsinsin1cos整理，得0)cos(sinsinyxyx③但是由①可知，2,0)(,,yxyx，表明③式不可能成立因此2zyx1.6换元法换元法是根据不等式的结构特征，选取适当的变量代换，从而化繁为简，或5实现某种转化，以便证明.例7已知：1cba，求证：31cabcab.证明：设ta31，)(31Rtatb，则tac)1(31，tattaatattcabcab)1(3131)1(31313131,31)1(3122taa所以31cabcab1.7放缩法放缩法就是在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明比原不等式更好的不等式来代替原不等式的证明.放缩法的目的性强,必须恰到好处,同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及.否则不能达到目的.例8设cba,,是三角形的边长，求证3abcbcacababc证明：由不等式的对称性，不妨设abc，则acbbaccba且20cab，20abc∴3111abcabcbcacababcbcacababc222abcbaccabbcacababc0222bacbacbacacbbaccba∴3abcbcacababc函数的不等式是表示函数之间大小的比较，从某种意义上说，不等式在数学分析中甚至比等式更为重要，不等式存在反而是常见的.下面这一章就是对不等式用函数来证明的一些常用方法.第二章利用函数性质证明不等式2.1利用函数的单调性6定理1设函数)(xf在区间I可导.函数)(xf在区间I单调增加（单调减小）Ix，有)0)((0)(xfxf.定理2若函数)(xf在区间I可导，Ix，有)0)((0)(xfxf，则函数)(xf在区间I严格增加（严格减小）.例1设1x，且0x，试证：1)1ln(11xx证明：令)1ln()1ln()1ln(1)1ln(11)(xxxxxxxxxf，分子)1ln()1ln()(xxxxxg，对)(xg求导得)1ln()(xxg，分两种情况来讨论：（1）当10x时，0)(xg，因此)(xg单调递增.由0)(xg，故0)(xg，分母0)1ln(xx，所以0)(xf即原不等式成立.（2）当0x时，0)(xg，因此)(xg单调递减，由0)(xg，得0)(xg，分母0)1ln(xx，所以0)(xf，即原不等式成立.综合（1）（2）即得结论成立.2.2利用拉格朗日中值定理定理如果函数)(xf满足，在闭区间],[ba连续；在开区间),(ba可导.则在开区间),(ba内至少存在一点c，使得abafbfcf)()()(从上式可以看出，如果能确定了)(cf介于某两个数m与M之间，则有如下形式的不等式：Mabafbfm)()(7因此，欲证形如abafbf)()(或构造成为abafbf)()(形式的不等式，可用该方法。例2证明，当x＞0时，有1xe＞x.证明：由原不等式，因为x＞0，可改写为11xex的形式，或改写为100xeex的形式，这里tetf)(，区间为[0,x]，于是可用拉格朗日中值定理证明。令tetf)(，t[0,x]，则)(tf满足拉格朗日中值定理的条件，于是存在[0,x]有00xeex＝e＞1所以，有不等式1xe＞x.2.3利用泰勒公式定义若函数)(xf在a存在n阶导数，则)(aUx，有])[()()(nnaxoxTxf称为函数)(xf在a（展开）的泰勒公式.其中，nnnaxnafaxafaxafafxT)(!)()(!2)()(!1)()()()(2例3证明：若函数)(xf在],[ba上有n阶导数，且1,,2,1,0)()()()(nibfafii，则存在),(bac，有)()()(!2)(1)(afbfabncfnnn证明：将函数)(xf在点a和点b分别展开，即],[bax，有8nnaxnfaxafafxf)(!)()(!1)()()(1)(nnbxnfbxbfbfxf)(!)()(!1)()()(2)(由已知条件，令2bax，则分别有nnabnfafbaf2!)()(21)(，21baa，nnbanfbfbaf2!)()(22)(，bba22，以上两式相减，有02!)(2!)()()(1)(2)(nnnnabnfbanfafbf或nnnnbanfabnfafbf2!)(2!)()()(2)(1)(，nnnnabnfabnfbfaf2!)(2!)()()(2)(1)(令})(,)(max{)(2)(1)()(nnnffcf，则有2)(!)(2)()()(nnabncfbfaf，即)()()(!2)(1)(afbfabncfnnn2.4利用函数的极值与最值定义可导函数)(xf的方程0)(xf的根)0)((0xfx，称为函数)(xf的稳定点定理1（第一判别法）若函数)(xf在)(aU可导，且0)(xf，0有9,),(),0(0),(),0(0)(aaxaaxxf则a是函数)(xf的极大点（极小点），)(af是极大值（极小值）定理2（第二判别法）若函数)(xf在a存在n阶导数，且0)()()(1afafafn，0)()(afn1）n是奇数，则a不是函数)(xf的极值点，2）n是偶数，则a是函数)(xf的极值点.当0)()(afn，a是函数)(xf极小点，)(af是极小值,当0)()(afn，a是函数)(xf极大点，)(af是极大值.例4证明，0x，有不等式,01xx10证明：讨论函数1)(xxxf在区间),0(的最大值.)1()(11xxxf令0)(xf,解得唯一定点1，它在区间),0(分成两个区间)1,0(与),1(，列表如下：)1,0(1),1()(xf+0-)(