不等式恒成立问题存在性问题讲义

1导数及其应用吴冰平均速度平均变化率割线斜率瞬时速度瞬时变化率切线斜率导数导数解决不等式问题在生活中的实际应用导数与函数单调性的关系导数与极值最值的关系基本初等函数的导数公式，导数的运算法则微积分基本定理曲边梯形的面积定积分定积分在几何、物理中的简单应用变速直线运动的路程导数与函数单调性的关系导数与极值最值的关系基本初等函数的导数公式，导数的运算法则微积分基本定理2一、导数的概念及其几何意义（一）变化率与导数、导数的计算1、函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率：函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为2121()()fxfxxx，若21xxx，21()()yfxfx,则平均变化率可表示为yx。2、函数y=f(x)在x=x0处导数：（1）定义称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率0000()()limlimxxfxxfxyxx为y=f(x)在x=x0处导数，记作0000000()()()|,()limlimxxxxfxxfxyfxyfxxx或即（2）几何意义：函数f(x)在点x处的导数0()fx的几何意义是在曲线y=f(x)上点（0x，0()fx）处的切线的斜率。相应地，切线方程为y-y0=0()fx(x=x0).3、函数f(x)的导数：称函数0()()()limxfxxfxfxx为函数f(x)的导函数，导函数有时也记作y。注：求函数f(x)在x=x0处的导数的方法：方法一：直接使用定义；0000()()()limxfxxfxfxx;方法二：先求导函数0()()()limxfxxfxfxx，再令x=x0求0()fx4、基本初等函数的导数公式运用可导函数求导法则和导数公式，求函数()yfx在开区间（a,b）内的导数的基本步骤：①分析函数()yfx的结构和特征；②选择恰当的求导法则和导数公式求导；③整理得结果。3例题解析：〖例1〗求函数y=24x的导数。解析：22)(24xxxxxxy，00limlimxxxy22)(24xxxxx=-38x。〖例2〗一质点运动的方程为283st。（1）求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度；（2）求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法）分析：（1）平均速度为st；（2）t=1时的瞬时速度即283st在t=1处的导数值。解答：（1）∵283st∴Δs=8-3(1+Δt)2-(8-3×12)=-6Δt-3(Δt)2,63svtt.（2）定义法：质点在t=1时的瞬时速度00limlim(63)6ttsvtt求导法：质点在t时刻的瞬时速度函数导数yc'0y*()()nyfxxnQ1'nynxsinyx'cosyxcosyx'sinyx()xyfxa'ln(0)xyaaa()xyfxe'xye()logafxx1'()(01)lnfxaaxa且()lnfxx'1()fxx42()(83)6vsttt，当t=1时，v=-6×1=-6.注：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系。对位移s与时间t的关系式求导可得瞬时速度与时间t的关系。根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，诮按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求。〖例3〗已知曲线31433yx，（1）求曲线在点P(2,4)处的切线方程；（2）求曲线过点P(2,4)的切线方程；（3）求斜率为4的曲线的切线方程。分析：切点坐标切线斜率点斜式求切线方程解答：（1）(2,4)P在曲线31433yx上，且2yx∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=2|xy=4;∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.（3）设曲线31433yx与过点P(2,4)的切线相切于点A（x0，301433x），则切线的斜率020|xxkyx，∴切线方程为y（301433x）=20x（x-0x），即23002433yxxx∵点P(2,4)在切线上，∴4=220x302433x，即3200340xx，∴322000440xxx，∴（x0+1）(x0-2)2=0解得x0=-1或x0=2故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.（3）设切点为（x0,y0）则切线的斜率为k=x02=4,x0=±2.切点为（2，4），（-2，-4/3）∴切线方程为y-4=4(x-2)和y+4/3=4(x+2)即4x-y-4=0和12x-3y+20=0注：（1）解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；（2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决。二、导数的运算5导数运算法则1．'''()()()()fxgxfxgx2．'''()()()()()()fxgxfxgxfxgx3．'''2()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx复合函数的导数：复合函数yfgx的导数和函数yfu，ugx的导数间的关系为xuxyyu，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。复合函数的求导方法：求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决。①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程。例题解析：〖例4〗（1）求)11(32xxxxy的导数；（2）求)11)(1(xxy的导数；（3）求2cos2sinxxxy的导数；（4）求y=xxsin2的导数；（5）求y＝xxxxx9532的导数分析：先正确地分析函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成；求导时，可设出中间变量，注意要逐层求导不能遗漏，每一步对谁求导，不能混淆。解：（1）2311xxy,.2332'xxy（2）先化简,2121111xxxxxxy6.112121212321'xxxxy（3）先使用三角公式进行化简.xxxxxysin212cos2sin.cos211)(sin21sin21''''xxxxxy（4）y’=xxxxx222sin)'(sin*sin)'(=xxxxx22sincossin2；（5）y＝233x－x＋５－219xy’＝３*（x23）＇－x＇＋５＇－９21(x）＇＝３*2321x－１＋０－９*（－21）23x＝1)11(292xx三、导数的应用1、函数的单调性与导数：在某个区间（a,b）内，如果()0fx，那么函数()yfx在这个区间内单调递增；如果()0fx，那么函数()yfx在这个区间内单调递减。如果()0fx，那么函数()yfx在这个区间上是常数函数。注：函数()yfx在（a,b）内单调递增，则()0fx，()0fx是()yfx在（a,b）内单调递增的充分不必要条件。2、函数的极值与导数：（1）曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正．一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，判断f(x0)是极大（小）值的方法是：（1）如果在x0附近的左侧f’(x)0，右侧f’(x)0，那么f(x0)是极大值．（2）如果在x0附近的左侧f’(x)0，右侧f’(x)0，那么f(x0)是极小值．注：导数为0的点不一定是极值点3、函数的最值与导数：7函数f(x)在[a,b]上有最值的条件：如果在区间[a,b]上函数()yfx的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。4、生活中的优化问题：解决优化问题的基本思路是：优化问题用函数表示的数学问题用导数解决函数问题优化问题答案。例题解析：〖例5〗（安徽·合肥168中高三段考（理））(本小题满分13分)已知函数2472xfxx，01x，，（Ⅰ）求fx的单调区间和值域；（Ⅱ）设1a，函数223201gxxaxax，，，若对于任意101x，，总存在001x，，使得01gxfx成立，求a的取值范围解：对函数fx求导，得2241672xxfxx，221272xxx令0fx，解得112x或272x当x变化时，fx，、fx的变化情况如下表：x010,2121,121fx，—0+fx72—4—3所以，当102x，时，fx是减函数；当112x，时，fx是增函数；当01x，时，fx的值域为43，。（Ⅱ）对函数gx求导，得223gxxa，8因此1a，当01x，时，2310gxa，因此当01x，时，gx为减函数，从而当01x，时有10gxgg，又21123gaa，02ga，即当1x0，时有21232gxaaa，任给11x0，，143fx，，存在001x，使得01gxfx，则2123243aaa，，即212341232aaa（）（）解1（）式得1a或53a，解2（）式得32a又1a，故：a的取值范围为312a〖例〗设x=1与x=2是lnfxaxbxx函数的两个极值点。（1）试确定常数a和b的值；（2）试判断x=1,x=2是函数fx的极大值点还是极小值点，并求相应极值。解析：（1）'21,afxbxx由已知得：''210101204102abffab2316ab（2）x变化时。fx，，fx的变化情况如表：x（0，1）1（1，2）2fx，—0+0—fx极小值极大值故在x=1处，函数fx取极小值56；在x=2处，函数fx取得极大值42ln233〖例6〗（黑龙江省双鸭山一中·2010届高三期中考试（理））（本题12分）已知函数2fxx|xa|,aR.9（1）当0a时，求证函数fx,在上是增函数；（2）当a=3时，求函数fx在区间[0，b]上的最大值。解：(1)a0时，23230fxxxaxax,fxxa因故fx在R上是增函数。(4分)(2)3a时，323333303xxxfxx|x|xxx①若03b时，323330fxxx,fxx由得：1x(Ⅰ)若01b时，0fx,fx在[0，b]上单增，故33maxfxfbbb,(Ⅱ)若13b时，因01010x,fx;xb,fx.故12maxfxf.②若3b时，由①知fx在03,上的最大值为2，下求fx在3,b上的最大值，因2330fxx，故33maxfxfbbb.又323323212202bbbbbbbb综合①、②知：