中国石油大学华东期末(2—2)高数题1

一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分.请将答案写在指定位置上.1.平面与平面的夹角为.2.函数在点处沿从点到点的方向的方向导数为.3.设是有界闭区域上的连续函数，则当时，.4.区域由圆锥面及平面围成，则将三重积分在柱面坐标系下化为三次积分为.5.设为由曲线上相应于从到的有向曲线弧，是定义在上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：______________________________________.6.将函数展开成余弦级数为__________________________________.二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内.7.若有连续的二阶偏导数，且(常数)，则（）(A)；(B)；(C)；(D).8.设是连续的奇函数，是连续的偶函数，区域，则下列结论正确的是（）(A)；(B)；(C)；(D).9.已知空间三角形三顶点，则的面积为（）0:1zy0:2yx22yxz)2,1()2,1()32,2((,)fxy222:ayxD0aDadxdyyxfa),(1lim20222xyz1z22()fxydV32,,tztytxt01RQP,,PdxQdyRdz)0(1)(xxxf),(yxfzKyxfxy),((,)yfxy22KKy)(xKy)(yKx)(xf)(xgxyxxyxD,10),(0)()(Ddxdyxgyf0)()(Ddxdyygxf0)]()([Ddxdyygxf0)]()([Ddxdyxgyf)5,0,0(),1,1,1(),3,2,1(CBAABC(A)；(B)；(C)；(D).10.曲面积分在数值上等于()(A)流速场穿过曲面Σ指定侧的流量；(B)密度为的曲面片Σ的质量；(C)向量场穿过曲面Σ指定侧的通量；(D)向量场沿Σ边界所做的功.11．()(A)发散；(B)条件收敛；(C)绝对收敛；(D)收敛性不能确定.12.级数的敛散性为()(A)当时，绝对收敛；（B）当时，条件收敛；(C)当时，绝对收敛；（D）当时，发散.三、解答题：13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.13.（本题满分6分）设确定，求全微分.题满分8分）求曲线在点（1,1,1）处的切线与法平面方程.15.（本题满分8分）求幂级数的和函数.（本题满分6分）计算，其中为曲面被柱面所截下的有限部分.17.（本题满分8分）计算积分，其中为曲线上从点到沿逆时针方向的一段有向弧.29379273dxdyz2izv22zkzF2kzF2处则此级数在处是收敛的在若级数1,4)2(1xxxcnnn121)1(npnnp12p12210p012p()xyzxyze(,)zzxydz2223023540xyzxxyznnxn0)12(dSzyxI)(5zy2522yx222(24)(2)LIxxydxxydyL22355()()222xy(1,1)(2,4)18.（本题满分8分）计算，其中是由曲面与平面围成的有界闭区域的表面外侧.19.（本题满分8分）在第Ⅰ卦限内作椭球面的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.20.(本题满分6分)设均在上连续，试证明柯西-施瓦茨不等式：.答案一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分.请将答案写在指定位置上.1.平面与平面的夹角为.2.函数在点处沿从点到点的方向的方向导数为.3.设是有界闭区域上的连续函数，则当时，.4.区域由圆锥面及平面围成，则将三重积分在柱面坐标系下化为三次积分为.5.设为由曲线上相应于从到的有向曲线弧，是定义在上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：.6.将函数展开成余弦级数为xydxdydzdxzxyyzdydzI)(22224yxz0y1222222czbyax)(),(xgxfba,])(][)([])()([222bababadxxgdxxfdxxgxf0:1zy0:2yx322yxz)2,1()2,1()32,2(321(,)fxy222:ayxD0aDadxdyyxfa),(1lim20)0,0(f222xyz1z22()fxydV21100()rddrfrrdz32,,tztytxt01RQP,,PdxQdyRdz22222223()149149149PxQyRdsxyxyxy)0(1)(xxxf.二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内.7.若有连续的二阶偏导数，且(常数)，则（D）(A)；(B)；(C)；(D).8.设是连续的奇函数，是连续的偶函数，区域，则下列结论正确的是（A）.(A)；(B)；(C)；(D)..9.已知空间三角形三顶点，则的面积为（A）(A)；(B)；(C)；(D)10.曲面积分在数值上等于(C).(A)流速场穿过曲面Σ指定侧的流量；(B)密度为的曲面片Σ的质量；(C)向量场穿过曲面Σ指定侧的通量；(D)向量场沿Σ边界所做的功.11.(D)(A)发散；(B)条件收敛；(C)绝对收敛；(D)收敛性不能确定.12.级数的敛散性为(A)(A)当时，绝对收敛；（B）当时，条件收敛；(C)当时，绝对收敛；（D）当时，发散.三、解答题：13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、)0()5cos513cos31(cos412122xxxxx),(yxfzKyxfxy),((,)yfxy22KKy)(xKy)(yKx)(xf)(xgxyxxyxD,10),(0)()(Ddxdyxgyf0)()(Ddxdyygxf0)]()([Ddxdyygxf0)]()([Ddxdyxgyf)5,0,0(),1,1,1(),3,2,1(CBAABC29379273dxdyz2izv22zkzF2kzF2处则此级数在处是收敛的在若级数1,4)2(1xxxcnnn121)1(npnnp12p12210p012p证明过程或演算步骤.13.（本题满分6分）设确定，求全微分.解：两边同取微分整理得.14.（本题满分8分）求曲线在点（1,1,1）处的切线与法平面方程.解：两边同时关于求导，解得，++-所以切向量为切线方程为：；法平面方程为：，即.15.（本题满分8分）求幂级数的和函数.解：求得此幂级数的收敛域为，，设，则，；即，.()xyzxyze(,)zzxydz))(1()(dzdydxedzdydxzyxdydxdz2223023540xyzxxyzx05323222dxdzdxdydxdzzdxdyyx4749)1,1,1()1,1,1(dxdzdxdy91(1,,)1616T1111691xyz16(1)9(1)(1)0xyz169240xyznnxn0)12()1,1(0002)12(nnnnnnxxnxn,22110nnnnnxxnx11)(nnxnxAxxxdxnxdxxndxxAnnnxnnxnx1)(11011010)11(xxxxA1)(,)1(12x,)1(2220xxnxnn220)1(111)1(2)12(xxxxxxnnn)11(x16.（本题满分6分）计算，其中为曲面被柱面所截下的有限部分.解：17.（本题满分8分）计算积分，其中为曲线上从点到沿逆时针方向的一段有向弧.解：18.（本题满分8分）计算，是由曲面与平面围成的有界闭区域的表面外侧.解：19.（本题满分8分）在第Ⅰ卦限内作椭球面的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.dSzyxI)(5zy2522yxdSxdSzyxI)5()(2522255yxdxdydS21252525222(24)(2)LIxxydxxydyL22355()()222xy(1,1)(2,4)xyPxQ4ABdyyxdxxyxI)2()42(222242211(24)(8)xxdxydy413xydxdydzdxzxyyzdydzI)(22224yxz0yxydxdydzdxzxyyzdydzI)(22dVzx)(2224022020rdyrrdrd3321222222czbyax解：设切点坐标为，则切向量为，切平面方程为，即，则切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为，令解方程组得，故切点坐标为.20.(本题满分6分)设均在上连续，试证明柯西不等式：.证：一．选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.1.设三向量满足关系式，则（）.（A）必有;（B）必有;),,(000zyx)2,2,2(020202zcybxa0)()()(020020020zzczyybyxxax1202020czzbyyaxxxyzV610002226zyxcba)1(lnlnln),,,(220220220000000czbyaxzyxzyxL1,021,021,021220220220200200200czbyaxczzbyyaxx3,3,3000czbyax)3,3,3(cba)(),(xgxfba,])(][)([])()([222bababadxxgdxxfdxxgxf222222[()][()]()()()()bbaaDDfxdxgxdxfygxdxdyfxgydxdy2222221[()][()](()()()())2bbaaDDfxdxgxdxfxgydxdyfxgydxdy222211(()()()())(2()()()())22DDfxgyfygxdxdyfxgxfygydxdydxdyygyfxgxfD))()()()((babadyygyfdxxgxf)()()()(2])()([badxxgxfcba,,caba0a0cb（C）当时，必有;（D）必有为常数).2.直线与平面的关系是（）.（A）平行，但直线不在平面上;（B）直线在平面上；（C）垂直相交;（D）相交但不垂直.3.二元函数在点（0，0）处（）(A)不连续，偏导数存在(B)连续，偏导数不存在(C)连续，偏导数存在(D)不连续，偏导数不存在4.已知为某二元函数的全微分，则（）.（A）;（B）;（C）;（D）.5.设是连续函数，平面区域，则（）.（A）;（B）;（C）;（D）.6.设为常数，则级数（）.（A）发散;（B）绝对收