专题2数列

专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)【考情报告】专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)【考向预测】数列是高中数学的重要内容，在高考数学中有着十分重要的地位．从新课标卷近几年对数列的考查来看，难度有所降低，但是对等差、等比数列的通项以及求和的考查仍然是重点．近几年基本上是两个小题或一个解答题交替出现，不过也不能排除2014年出数列解答题的可能性，在平时复习与训练中注意基本方法与基本题型．同时我们要注意“巧用性质、减少运算量”在等差数列、等比数列的计算中非常重要．从考查方向上我们要注意以下方面：一是等差数列、等比数列的基本量计算；二是一个等差数列与等比数列乘积式求和，我们要熟练使用“错位相减法”；三是裂项求和问题．专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)【问题引领】1．设Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S6＝36，Sn＝324，Sn－6＝144(n＞6)，则n等于()．A．16B．17C．18D．19【解析】∵S6＋(Sn－Sn－6)＝6(a1＋an)＝36＋(324－144)＝216，∴a1＋an＝36.又∵Sn＝n（a1＋an）2＝324，∴n＝18.【答案】C2．已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________．【解析】设数列{an}的公差为d，那么(1＋d)2＝1·(1＋专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)＋4d)，解得d＝2或d＝0(舍去)，所以S8＝8×1＋8×（8－1）2×2＝64.【答案】643．已知等比数列{an}满足：a1＋a2＋a3＋a4＝158，a2a3＝－98，则1a1＋1a2＋1a3＋1a4＝________．【解析】等比数列{an}中，a1a4＝a2a3＝－98，那么1a1＋1a2专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)＋1a3＋1a4＝a1＋a4a1a4＋a2＋a3a2a3＝a1＋a2＋a3＋a4a2a3＝－53.【答案】－534．已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则ann的最小值为________．【解析】an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2[1＋2＋…＋(n－1)]＋33＝33＋n2－n，所以ann＝33n＋n－1.专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)设f(n)＝33n＋n－1，由f′(n)＝－33n2＋1＞0，得f(n)在(33，＋∞)上单调递增，在(0，33)上单调递减，因为n∈N＋，且a55＝535，a66＝636＝212，所以ann的最小值为a66＝212.【答案】212专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)5．在数列{an}中，已知a1＝14，an＋1an＝14，bn＋2＝3log14an(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{bn}是等差数列；(3)设数列{cn}满足cn＝an·bn，求{cn}的前n项和Sn.【解析】(1)∵an＋1an＝14，∴数列{an}是首项为14，公比为14的等比数列，∴an＝(14)n(n∈N*)．专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)(2)∵bn＝3log14an－2，∴bn＝3log14(14)n－2＝3n－2，∴bn＋1－bn＝(3n＋1)－(3n－2)＝3，∴数列{bn}是公差d＝3的等差数列．(3)由(1)(2)知，an＝(14)n，bn＝3n－2，n∈N*，∴cn＝(3n－2)×(14)n(n∈N*)，∴Sn＝1×14＋4×(14)2＋7×(14)3＋…＋(3n－5)×(14)n－1专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)＋(3n－2)×(14)n，①于是14Sn＝1×(14)2＋4×(14)3＋7×(14)4＋…＋(3n－5)×(14)n＋(3n－2)×(14)n＋1，②由①－②得34Sn＝14＋3[(14)2＋(14)3＋…＋(14)n]－(3n－2)×(14)n＋1＝12－(3n＋2)×(14)n＋1.∴Sn＝23－3n＋23×(14)n(n∈N*)．专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)6．(2013广东卷)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝a2n＋1－4n－1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．(1)证明：a2＝4a1＋5；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＜12.【解析】(1)当n＝1时，4S1＝4a1＝a22－5，∴a22＝4a1＋5，又an＞0，∴a2＝4a1＋5.(2)∵4Sn＝a2n＋1－4n－1，①专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)∴4Sn－1＝a2n－4(n－1)－1(n≥2)，②由①－②得4an＝a2n＋1－a2n－4.∴a2n＋4an＋4＝(an＋2)2＝a2n＋1，an＞0.∴an＋2＝an＋1，∴an＋1－an＝2.∴当n≥2时，数列{an}是以a2为首项，2为公差的等差数列．又a2，a5，a14成等比数列．∴(a2＋6)2＝a2·(a2＋24)，∴a2＝3.由(1)可知a1＝1，∵a2－a1＝3－1＝2，∴数列{an}是以a1＝1为首项，2为公差的等差数列，∴an＝2n－1.专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)(3)由(2)知1anan＋1＝1（2n－1）（2n＋1）＝12(12n－1－12n＋1)，∴1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝12(1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n－1－12n＋1)＝12(1－12n＋1)＜12.【诊断参考】1．等差数列与其求和公式是考试的重点，一方面我们应该熟悉公式，同时又要熟练运用公式的变形，很多学生解专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)答本题时机械地套用公式，这样计算量大，如果我们能够发现S6＋(Sn－Sn－6)＝S6＋(an－5＋an－4＋…＋an)＝6(a1＋an)，可简化运算，我们要注意高考数列题的“小、巧、活”的特点．2．本题是等差数列与等比数列的基本题，我们按基本知识求解就可以．3．等比数列的基本量的计算是重点，我们常常通过公式挖掘Sn、an、n、q之间的关系求解，本题我们发现a1a4＝a2a3，后面通分后整体处理使问题迎刃而解，如果本题死套公式去求解，也会由于变量难以处理而不好解决．4．本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数，利用导数判断函数单调性，考查了综合运用知识解决问题的专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)导数解决这类题不熟练．5．本题的第一问比较基础，是求等比数列的通项；第二问的关键是有些同学对对数知识不熟练从而产生错误；第三问是我们熟悉的一个等差数列与等比数列乘积式求和，我们只要熟悉“错位相减法”即可，但在实践中许多学生由于计算能力不强而导致错误百出，所以我们一定要把这个重点突破．6．数列中Sn与an的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，第(1)(2)两问是已知Sn求an，{an}是等差数列，第(3)问只需裂项求和即可．本题的易错点在分成n＝1，n≥2来做后，不会求a1，没有证明a1也满足通项公式．专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)【知识整合】1．Sn与an的关系在数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an，从而an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.2．等差数列的公式与性质如果数列{an}是公差为d的等差数列，则专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)(1)an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋n（n－1）2d＝n（a1＋an）2.(2)对正整数m，n，p，q，有am＋an＝ap＋aq⇔m＋n＝p＋q，am＋an＝2ap⇔m＋n＝2p.3．等比数列的公式与性质如果数列{an}是公比为q的等比数列，则(1)an＝a1qn－1，Sn＝a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q，q≠1，na1，q＝1.(2)对正整数m，n，p，q，有aman＝apaq⇔m＋n＝p＋q，专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)aman＝a2p⇔m＋n＝2p.4．等差、等比数列前n项和Sn的性质若等差数列的前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…为等差数列；若等比数列的前n项和为Sn，则当Sm不等于0时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列．5．在等差数列{an}中，有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当a1＞0，d＜0时，满足am≥0，am＋1≤0的项数m使得Sm取最大值．专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)(2)当a1＜0，d＞0时，满足am≤0，am＋1≥0的项数m使得Sm取最小值．在解含绝对值的数列最值问题时，注意转化思想的应用．6．数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组求和法、累加法、累积法等．【考点聚焦】热点一：等差数列的通项、求和及其性质在等差数列问题中，最基本的量是其首项和公差，在解专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)题时根据已知条件求出这两个量，其他的问题也就随之解决了，这就是解决等差数列问题的基本方法，其中蕴含着方程思想的运用．设数列{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2且a1，a5，a13成等比数列，则数列{an}的前n项和Sn等于()．A.n24＋7n4B.n23＋5n3C.n22＋3n4D．n2＋n【分析】根据等差数列与等比数列的概念列出等式，从而求解．【解析】根据a1，a5，a13成等比数列得(2＋4d)2＝2(2专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)＋12d)，解得d＝12，故其前n项和只能是选项A.注意等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn，其中A＝d2.【答案】A【归纳拓展】要解决等差数列的前n项和问题，一般只要寻找首项a1与公差d及an、Sn之间的关系，然后求解．变式训练1设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为________．【解析】∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4≥10，S5≤15，专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)∴4a1＋4×32d≥10，5a1＋5×42d≤15，即2a1＋3d≥5，a1＋2d≤3，∴5－3d2≤a1≤3－2d，∴5－3d2≤3－2d，∴d≤1，∴a4＝(a1＋2d)＋d≤3＋d≤3＋1＝4.故a4的最大值为4.【答案】4(2013江西卷)正项数列{an}满足：a2n－(2n－1)an－2n＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)(2)令bn＝1（n＋1）an，求数列{bn}的前n项和Tn.【分析】因式分解是解题的突破口，裂项相消是求前n项和的常用方法．【解析】(1)由a2n－(2n－1)an－2n＝0，得(an－2n)(an＋1)＝0.由于{an}是正项数列，所以an＝2n.(2)由an＝2n，bn＝1（n＋1）an，则bn＝12n（n＋1）＝12(1n－1n＋1)，专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)Tn＝12(1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＋1n－1n＋1)＝12(1－1n＋1)＝n2（n＋1）.【归纳拓展】在含有二元的二次等式中，确定主元是正确因式分解的前提，在进行裂项时，善于观察，善于总结是解决这类问题的主要手段．变式训练2已知数列{an}满足a1＝3，an·an－1＝2an－1－1.(1)求a2，a3，a4；(2)求证：数列{1an－1}是等差数列，并求出{an}的通项专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)公式．【解析】(1)∵an·an－1＝2an－1－1，又a1＝3，∴a2＝53，a3＝75，a4＝97.(2)易知an－1≠0，∴an＝2－1an－1.当n≥2时，1an－1－1an－1－1＝1（2－1an－1）－1－1an－1－1，＝11－1an－1－1an－1－1专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)＝an－1an－1－1－1an－