中山市2012届高二下学期期末考试(数学)

中山市2012届高二下学期期末考试数学试卷本试卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用2B铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.2、选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上.如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案.不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卡的整洁.考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交.5、不可以使用计算器.参考公式：回归直线ˆybxa，其中1122211()(),()nniiiiiinniiiixxyyxynxybaybxxxxnx.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．在复平面上，复数(2i)iz的对应点所在象限是A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．下列论断中错误．．的是A．a、b、m是实数，则“am2bm2”是“ab”的充分非必要条件；B．命题“若ab0，则a2b2”的逆命题是假命题；C．向量a，b的夹角为锐角的充要条件是ab0；D．命题p：“∃x∈R，x2-3x+2≥0”的否定为¬p：“∀x∈R，x2-3x+20”3．已知函数nxyxe，则其导数'yA．1nxnxeB．nxxeC．2nxxeD．1()nxnxxe4．每次试验的成功率为)10(pp，则在3次重复试验中至少失败1次的概率为A．3)1(pB．31pC．)1(3pD．)1()1()1(223ppppp5．若集合2{|20}Axxx，{|2}Bxxa，则“AB”的充要条件是A．2aB．2aC．1aD．1a6．圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为A．720B．360C．240D．1207．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是ABCDEOlA．2或22B．22或22C．2或22D．2或228．定义在R上的函数()fx及其导函数()fx的图象都是连续不断的曲线，且对于实数,()abab，有()0,()0fafb．现给出如下结论：①00[,],(=0xabfx）；②00[,],(()xabfxfb）；③00[,],(()xabfxfa）；④00[,],(()()()xabfafbfxab）.其中结论正确的个数是A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡相应横线上）（一）必做题（9～13题）9．在国家宏观政策的调控下，中国经济已经走向复苏.统计我市某小型企业在2010年1～5月的收入，得到月份x（月）与收入y（万元）的情况如下表：月份x12345收入y120130150160190y关于x的回归直线方程为.10．2321dxx.11．523)1(xx展开式的常数项是.12．已知经过计算和验证有下列正确的不等式:112,111123,111312372,111122315,,根据以上不等式的规律，写出一个一般性的不等式.13．如果对任意一个三角形，只要它的三边,,abc都在函数()fx的定义域内，就有(),(),()fafbfc也是某个三角形的三边长，则称()fx为“和美型函数”.现有下列函数：①()fxx；②()sin,(0,)gxxx；③()ln,[2,)hxxx.其中是“和美型函数”的函数序号为.（写出所有正确的序号）（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，若两题都做，取14题得分为最后得分）14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是2cos22sinxy（是参数），若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程可写为.15．（几何证明选讲选做题）如图所示，圆O的直径6AB，C为圆周上一点，3BC．过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点DE，，则线段AE的长为．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）16．（13分）用数学归纳法证明：112(1)3(2)1(1)(2).6nnnnnnn17．（13分）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，其中60名男大学生中有40人爱好此项运动，女大学生中有20人爱好此项运动，其中22()()()()()nadbcKabcdacbd，附表：P(k2k)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.83能不能有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”18．（13分）若,xy都是正实数，且2,xy求证：12xy与12yx中至少有一个成立.19．（13分）已知函数322()1fxxmxmx（m为常数，且0m）有极大值9.（1）求m的值；（2）若曲线()yfx有斜率为5的切线，求此切线方程.20．（14分）投掷四枚不同的金属硬币ABCD、、、，假定AB、两枚正面向上的概率均为12，另两枚CD、为非均匀硬币，正面向上的概率均为(01)aa，把这四枚硬币各投掷一次，设表示正面向上的枚数.(Ⅰ)若AB、出现一枚正面向上一枚反面向上与CD、出现两枚正面均向上的概率相等，求a的值；(Ⅱ)求的分布列及数学期望（用a表示）.21．（14分）一个截面为抛物线形的旧河道(如图1)，河口宽4AB米，河深2米，现要将其截面改造为等腰梯形(如图2)，要求河道深度不变，而且施工时只能挖土，不准向河道填土．(Ⅰ)建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧AB的标准方程；(Ⅱ)试求当截面梯形的下底（较长的底边）长为多少米时，才能使挖出的土最少？参考答案一、选择题：CCDBCDDB二、填空题：9.9917xy；10.4；11.10；12.212131211nn；13.①③；14．cos4.15．3．三、解答题：16．证明：（1）当1n时，左边111,右边11231,6等式成立.（2）假设当*()nkkN时等式成立，即112(1)3(2)1(1)(2),6kkkkkkk那么，1(1)23(1)2(1)1(1)[12(1)3(2)1](1)(2)211(1)(2)(1)(2)621(1)(2)(3)6kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk即当1nk时等式也成立.根据（1）和（2），可知等式对任何*nN都成立17.解：列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计605011022110(40302020)7.8.60506050K有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”18．证明：假设12xy和12yx都不成立，则有21yx和21xy同时成立，因为0x且0y，所以yx21且xy21两式相加，得yxyx222.所以2yx，这与已知条件2xy矛盾.因此12xy和12yx中至少有一个成立.19．解：（1）'22()32()(3)0fxxmxmxmxm则xm或13xm.当x变化时，'()fx与()fx的变化情况如下表：x(,)mm1(,)3mm13m1(,)3m'()fx00()fx↗极大值↘极小值↗从而可知，当xm时，函数()fx取得极大值9，即333()19,2.fmmmmm（2）由（1）知，32()241,fxxxx依题意知'2()3445,fxxx11.3xx或又168(1)6,(),327ff所以切线方程为65(1)yx或6815()273yx即510xy或13527230.xy20．解：（Ⅰ）由题意，得211221.222.aa……………………3分（Ⅱ）=0，1，2，3，4.…………………4分020222211(0)(1)(1)(1)24;pCCaa…………5分10202122221111(1)(1)(1)(1)(1)(1)2222pCCaCCaaa；……………6分22021102222222221111(2)(1)(1)(1)2222()(1)pCCaCCaaCCa21(122);4aa…………………………7分2211222222111(3)(1)(1),2222()apCCaCCaa…………………………8分222222211(4).24()pCCaa………………………………………9分得的分布列为：01234p21(1)4a1(1)2a21(1224)aa2a214a的数学期望为：221111(1)2(122)3421,2424aEaaaaa21．解：（1）如图：以抛物线的顶点为原点，AB中垂线为y轴建立直角坐标系则(2,2),(2,2)AB设抛物线的方程为22(0)xpyp，将点(2,2)B代入得1p所以抛物线弧AB方程为22xy（22x）（2）解法一：设等腰梯形的腰与抛物线相切于21(,),2Ptt(0)t不妨则过21(,)2Ptt的切线l的斜率为'xtyt所以切线l的方程为：2()2tytxt，即22tytx令0y，得2tx，令2y，得22txt，所以梯形面积1222()222()42222ttSttt当仅当2tt，即2t时，成立此时下底边长为222()3222答：当梯形的下底边长等于32米时，挖出的土最少．解法二：设等腰梯形的腰与抛物线相切于21(,),2Ptt(0)t不妨则过21(,)2Ptt的切线l的斜率为'xtyt所以切线l的方程为：2()2tytxt，即22tytx运用定积分计算抛物线与等腰梯形间的面积：222222220222(())(2())2222ttttxxttSdxtxdxtxdx-----10分22222222222022222()2()2222tttttttxxttdxdxtxdxdxtxdx222222202222()22tttttxtdxdxtxdx2222422222(2)()()(3222222422tttttttttttt2823tt16423当仅当2tt，即2t时，成立，此时下底边长为222()3222答：当梯形的下底边长等于32米时，挖出的土最少．解法三：设等腰梯形上底（较短的边）长为2a米，则一腰过点(,0),(0)aa，可设此腰所在直线方程为(),(0)ykxak，联立2()12ykxayx，得2220xkxka，令2480kka，得2ka，或0k（舍），故此腰所在直线方程为2()yaxa，令2y，得1xaa，故等腰梯形的面积：1112[()]22(