七年级数学竞赛辅导材料(上)

七年级数学竞赛辅导材料（上）数的整除（一）一、内容提要：如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数，那么叫做A被B整除。0能被所有非零的整数整除。一些数的整除特征除数能被整除的数的特征2或5末位数能被2或5整除4或25末两位数能被4或25整除8或125末三位数能被8或125整除3(或9)各位上的数字和被3(或9)整除(如771能被3整除，54324能被9整除)11奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相减，其差能被11整除(如143，1859，1287，908270等)7，11，13从右向左每三位为一段，奇数段的各数和与偶数段的各数和相减，其差能被7或11或13整除(如1001，22743，17567，21281等)能被7整除的数的另一特征：①抹去个位数；②减去原个位数的2倍；③其差能被7整除。如：1001，100－2＝98（能被7整除）；又如：7007，700－14＝686，68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的又一特征：①抹去个位数；②减去原个位数；③其差能被11整除。如：1001，100－1＝99（能11整除）；又如：102851028－5＝1023，102－3＝99（能11整除）。二、例题：例1已知两个三位数328和92x的和仍是三位数75y且能被9整除。求x，y的值。解：x、y都是0到9的整数，∵75y能被9整除，∴y=6，∵328＋92x＝567，∴x=3。例2己知五位数x1234能被12整除，求X。解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当1＋2＋3＋4＋X能被3整除时，x=2，5，8；当末两位X4能被4整除时，X＝0，4，8。∴X＝8。★例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数。-1-解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行。调整末两位数为30，41，52，63，均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。三、练习题：1分解质因数（写成质因数为底的幂的连乘积）：①924②1859③1287④3276⑤10101⑥102962若四位数a987能被3整除，那么a=_______________。3若五位数3412X能被11整除，那么X＝__________。4当m=_________时，535m能被25整除。5当n=__________时，n9610能被7整除。6能被11整除的最小五位数是________，最大五位数是_________。7能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________。88个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________，8__________，9_________，11__________。9从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个。10由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？为什么？11己知五位数A1234能被15整除，试求A的值。12求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。13在十进制中，各位数码是0或1，并能被225整除的最小正整数是＿＿＿＿（1989年全国初中联赛题）。【数的整除（一）】练习题参考答案：序号1①1②1③1④1⑤答案3×4×7×1111×13232×11×1322×32×7×133×7×13×37序号1⑥2345答案23×32×11×130或3或6或902或73序号6789答案10010，999909996，99926：②/8：⑥⑦/9：②④/11：⑦⑧16，27序号10111213-2-答案没有一个、A＝51026911111111100-3-初一(上)数学竞赛辅导资料（2）倍数约数一、内容提要：1、两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。2、因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。如0是7的倍数，7是0的约数。3、整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0、±A、±2A、……都是A的倍数，例如5的倍数有±5、±10、……。4、整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。例如6的约数是±1，±2，±3，±6。5、通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几个正整数有最小的公倍数和最大的公约数。6、公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。7、在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数。若用字母表示可记作：A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除。例如23＝3×7＋2，则23－2能被3整除。二、例题：例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以应用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32。解：列表如下：正整数正约数个数计正整数正约数个数计正整数正约数个数计21、2231、322×31、2、3、64221、2、43321、3、32322×31、2、3、4、6、126231、2、4、84331、3、32、33422×321、2、3、4、6、9、12、18、369241、2、4、8、165341、3、32、33、345其规律是：设A＝ambn(a、b是质数，m、n是正整数)，那么合数A的正约数的个是（m+1）(n+1)例如：求360的正约数的个数。解：分解质因数：360＝23×32×5，360的正约数的个数是（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24（个）-4-例2用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数。解：∵24＝23×3，90＝2×32×5∴最大公约数是2×3，记作（24，90）＝6最小公倍数是23×32×5＝360，记作[24，90]=360。例3己知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N。解：∵32－2，44－2都能被N整除，∴N是30，42的公约数。∵（30，42）＝6，而6的正约数有1，2，3，6，经检验1和2不合题意，∴N＝6，3。例4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数。分析：依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除，所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1。解：∵[10，9，8]=360，∴所以所求的数是359。三、练习题：1、12的正约数有_________，18的所有约数是_________________。2、分解质因数300＝_________，300的正约数的个数是_________。3、用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数。4、一个三位数能被7，9，11整除，这个三位数是_________。5、能同时被3，5，11整除的最小四位数是_______；最大三位数是________。6、己知14和23各除以正整数A有相同的余数2，则A＝________。7、写出能被2整除，且有约数5，又是3的倍数的所有两位数。答________。8、一个长方形的房间长1.35丈，宽1.05丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最大边长可以是几寸？若用整数寸作为边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？9、一条长阶梯，如果每步跨2阶，那么最后剩1阶，如果每步跨3阶，那么最后剩2阶，如果每步跨4阶，那么最后剩3阶，如果每步跨5阶，那么最后剩4阶，如果每步跨6阶，那么最后剩5阶，只有每步跨7阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？【倍数、约数】练习题参考答案：序号倍数、约数参考答案序号倍数、约数参考答案11、2、3、4、6、12；±1、±2、±3、±6、±9、±18222×3×52；1832×5；22×5346935［3，5，11］＝165，1155；9906A＝3（即求14－2与23－2的公约数）730、60、908(135，105)＝15，正约数有1，3，5，159119［2，3，4，5，6］＝60，60×2－1＝119-5-初一(上)数学竞赛辅导资料（3）质数、合数一、内容提要：1、正整数的一种分类：质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。合数的定义：一个正整数除了能被1和它本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。2、根椐质数定义可知：Ⅰ、质数只有1和本身两个正约数；Ⅱ、质数中只有一个偶数2，如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2，如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2。3、任何合数都可以分解为几个质数的积。能写成几个质数的积的正整数就是合数。二、例题：例1两个质数的和等于奇数a(a≥5)。求这两个数。解：∵两个质数的和等于奇数，∴必有一个是2所求的两个质数是2和a－2。例2己知两个整数的积等于质数m，求这两个数。解：∵质数m只含两个正约数1和m，又∵（－1）（－m）=m∴所求的两个整数是1和m或者－1和－m.。例3己知三个质数a，b，c它们的积等于30，求适合条件的a，b，c的值。解：分解质因数：30＝2×3×5适合条件的值共有：532cba352cba523cba253cba325cba235cba应注意上述六组值的书写排列顺序，本题如果改为4个质数a，b，c，d它们的积等于210，即abcd=2×3×5×7那么适合条件的a，b，c，d值共有24组，试把它写出来。★★例4试写出4个连续正整数，使它们个个都是合数。解：（本题答案不是唯一的）设N是不大于5的所有质数的积，即N＝2×3×5，那么N＋2，N＋3，N＋4，N＋5就是适合条件的四个合数，即32，33，34，35就是所求的一组数。本题可推广到n个。令N等于不大于n+1的所有质数的积，那么N＋2，N＋3，N＋4，……N＋（n+1）就是所求的合数。1质数合数-6-三、练习题：1、小于100的质数共___个，它们是__________________________________。2、己知质数P与奇数Q的和是11，则P＝，Q＝。3、己知两个素数的差是41，那么它们分别是。4、如果两个自然数的积等于19，那么这两个数是。如果两个整数的积等于73，那么它们是。如果两个质数的积等于15，则它们是。5、两个质数x和y，己知xy=91，那么x=，y=，或x=，y=。6、三个质数a，b，c它们的积等于1990，那么cba7、能整除311＋513的最小质数是。8、己知两个质数A和B适合等式A＋B＝99，AB＝M。求M及BA＋AB的值9、试写出6个连续正整数，使它们个个都是合数。10、具备什么条件的最简正分数可化为有限小数？11、求适合下列三个条件的最小整数：①大于1②没有小于10的质因数③不是质数12、某质数加上6或减去6都仍是质数，且这三个质数均在30到50之间，那么这个质数是。13、一个质数加上10或14减去这个质数都仍是质数，这个质数是。质数、合数练习参考答案：12522，9343、241、19；1、73或－1、－73；3、5513、7或7、1361900＝2×5×199有6组7281949413/1949令N＝2×3×5×7＝210，则N＋2，N＋3，…10分母只含2和5的质因数1111×111237133-7-初一(上)数学竞赛辅导资料（4）零的特性一、内容提要(一)、零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。零是自然数、是整数、是偶数。1、零是表示具有相反意义的量的基准数。例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高；收支平衡可记作结存0元。2、零是判定正、负数的界限。若a＞0，则a是正数；反过来也成立，若a是正数，则a＞