三角函数和解三角形专题

专题三角函数、解三角形1.在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝()A．43B．23C.3D.322.把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是()3.要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos2x的图象()A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移12个单位D．向右平移12个单位4.在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.32B.332C.3＋62D.3＋3945.若sinα＋cosαsinα－cosα＝12，则tan2α＝()A．－34B.34C．－43D.436.已知f(x)＝sin2(x＋π4)，若a＝f(lg5)，b＝f(lg15)，则()A．a＋b＝0B．a－b＝0C．a＋b＝1D．a－b＝17.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b＝20acosA，则sinA∶sinB∶sinC为()A．4∶3∶2B．5∶6∶7C．5∶4∶3D．6∶5∶48.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝()A．－32B．－12C.12D.329.设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π12的值为________．10.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c＝3asinC－ccosA.(Ⅰ)求A；(Ⅱ)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝2，c＝2，cosA＝－24.(Ⅰ)求sinC和b的值；(Ⅱ)求cos2A＋π3的值．12.已知函数f(x)＝Acosx4＋π6，x∈R，且fπ3＝2.(1)求A的值；(2)设α，β∈0，π2，f4α＋43π＝－3017，f4β－23π＝85，求cos(α＋β)的值．13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝3acosB.(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．14.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω0，0φπ2)的部分图象如图所示．(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)求函数g(x)＝fx－π12－fx＋π12的单调递增区间．15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列．(Ⅰ)求cosB的值；(Ⅱ)边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．16.设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，－π＜φ≤π)在x＝π6处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为π2.(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)求函数g(x)＝6cos4x－sin2x－1f（x＋π6）的值域．专题三角函数、解三角形1.B根据正弦定理，BCsinA＝ACsinB，则AC＝BC·sinBsinA＝32×2232＝23.2.Ay＝cos2x＋1⇒y＝cosx＋1⇒y＝cos(x＋1)＋1⇒y＝cosx＋1，故选A.3.Cy＝cos2x向左平移12个单位得y＝cos(2x＋1)或y＝cos(2x＋1)＝cos2(x＋12)．4.B由余弦定理得12＝4＋AB2－72×2AB，解得AB＝3，∴BC边上的高h＝AB·sin60°＝332.5.B由已知：2sinα＋2cosα＝sinα－cosα.∴sinα＝－3cosα.tan2α＝2tanα1－tan2α＝2sinαcosα1－sin2αcos2α＝2×（－3）1－9＝34.6.Cf(x)＝sin2x＋π4＝1－cos2x＋π42＝1－cosπ2＋2x2＝1＋sin2x2.∴f(lg5)＋flg15＝12[1＋sin(2lg5)]＋12[1＋sin(－2lg5)]＝1.7.D由题意知c＝b－1，a＝b＋1.由3b＝20a·cosA，得3b＝20a·b2＋c2－a22bc，化简得7b2－27b－40＝0，解得b＝5，则a＝6，c＝4.8.C原式＝sin（30°＋17°）－sin17°cos30°cos17°＝cos17°sin30°cos17°＝12.9.17250根据cos(α＋π6)＝45，cos(2α＋π3)＝2cos2(α＋π6)－1＝2×1625－1＝725，因为cos(2α＋π3)0，所以sin(2α＋π3)＝1－（725）2＝2425，因为sin(2α＋π12)＝sin[(2α＋π3)－π4]＝sin(2α＋π3)cosπ4－cos(2α＋π3)sinπ4＝17250.10.解：(Ⅰ)由c＝3asinC－ccosA及正弦定理得3sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.由于sinC≠0，所以sinA－π6＝12.又0＜A＜π，故A＝π3.(Ⅱ)△ABC的面积S＝12bcsinA＝3，故bc＝4.而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.11.解：(Ⅰ)在△ABC中，由cosA＝－24，可得sinA＝144.又由asinA＝csinC及a＝2，c＝2，可得sinC＝74.由a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋b－2＝0，因为b0，故解得b＝1.所以sinC＝74，b＝1.(Ⅱ)由cosA＝－24，sinA＝144，得cos2A＝2cos2A－1＝－34，sin2A＝2sinAcosA＝－74.所以cos2A＋π3＝cos2Acosπ3－sin2Asinπ3＝－3＋218.12.解：(1)fπ3＝Acosπ12＋π6＝Acosπ4＝22A＝2，解得A＝2.(2)f4α＋43π＝2cosα＋π3＋π6＝2cosα＋π2＝－2sinα＝－3017，即sinα＝1517，f4β－23π＝2cosβ－π6＋π6＝2cosβ＝85，即cosβ＝45.因为α，β∈0，π2，所以cosα＝1－sin2α＝817，sinβ＝1－cos2β＝35，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝817×45－1517×35＝－1385.13.解：(Ⅰ)由bsinA＝3acosB及正弦定理asinA＝bsinB，得sinB＝3cosB，所以tanB＝3，所以B＝π3.(Ⅱ)由sinC＝2sinA及asinA＝csinC，得c＝2a.由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得9＝a2＋c2－ac.所以a＝3，c＝23.14.解：(Ⅰ)由题设图象知，周期T＝211π12－5π12＝π，所以ω＝2πT＝2.因为点5π12，0在函数图象上，所以Asin(2×5π12＋φ)＝0，即sin(5π6＋φ)＝0.又因为0＜φ＜π2，所以5π6＜5π6＋φ＜4π3.从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.又点(0，1)在函数图象上，所以Asinπ6＝1，得A＝2.故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin(2x＋π6)．(Ⅱ)g(x)＝2sin[2(x－π12)＋π6]－2sin[2(x＋π12)＋π6]＝2sin2x－2sin(2x＋π3)＝2sin2x－2(12sin2x＋32cos2x)＝sin2x－3cos2x＝2sin(2x－π3)．由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.所以函数g(x)的单调递增区间是[kπ－π12，kπ＋5π12]，k∈Z.15.解：(Ⅰ)由已知2B＝A＋C，A＋B＋C＝180°，解得B＝60°，所以cosB＝12.(Ⅱ)法一：由已知b2＝ac，及cosB＝12，根据正弦定理得sin2B＝sinAsinC，所以sinAsinC＝1－cos2B＝34.法二：由已知b2＝ac，及cosB＝12，根据余弦定理得cosB＝a2＋c2－ac2ac，解得a＝c，所以B＝A＝C＝60°，故sinAsinC＝34.16.解：(Ⅰ)由题设条件知f(x)的周期T＝π，即2πω＝π，解得ω＝2.因为f(x)在x＝π6处取得最大值2，所以A＝2.从而sin(2×π6＋φ)＝1，所以π3＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z.又由－πφ≤π得φ＝π6.故f(x)的解析式为f(x)＝2sin(2x＋π6)．(Ⅱ)g(x)＝6cos4x－sin2x－12sin（2x＋π2）＝6cos4x＋cos2x－22cos2x＝（2cos2x－1）（3cos2x＋2）2（2cos2x－1）＝32cos2x＋1(cos2x≠12)．因cos2x∈[0，1]，且cos2x≠12，故g(x)的值域为[1，74)∪(74，52]．