三角函数基本知识总结

-1–三角函数基本知识总结一、基本概念、定义;1.角的概念推广后，包括、、，与α终边相同的角。①终边相同的角：（用集合表示终边在下列范围内的角）x轴上，y轴上，这两种角被称为称为：。第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，称为：。直线y＝x上，直线3yx上。②区间角：将角1203012060,kkkZ在坐标系①中表示出来，并在坐标系中作好必要的标记。把坐标系②中终边在阴影部分的角用集合表示出来是。2.弧度制：把叫1弧度的角。公式：|α|＝；换算：180°＝弧度；1弧度＝度；1°＝弧度；扇形：弧长L＝＝，面积S＝＝.3.任意角的三角函数：①定义：角α终边上任意一点P(x，y)，则r＝，六个三角函数的定义依次是、、、、、。②三角函数线：角的终边与单位圆交于点P，过点P作轴的垂线，垂足为M，则。过点A(1,0)作，交于点T，oxy①oxy②yx32yx-2–则。作出角134的三角函数线，并指明。③同角三角函数关系式：平方关系（3个）：商数关系（2个）：倒数关系（3个）：④诱导公式：角xsinxcosxtanx角xsinxcosxtanxπ—α2－απ＋α2＋α—α23＋α2π－α23－α2kπ+α推导以上公式的工具：助记口诀二、基本三角公式（1～2要求能熟练运用：顺用、逆用、变形用，3～6要求能证明）;1．和、差角公式：)sin()cos()tan(2．二倍角公式：2sin，2cos＝＝，2tan-3–倍角公式变形：降幂公式（升幂公式）：cossin2sin2cos2(sincos)3．半角公式：2cos12sin,2cos12cos,sincos1cos1sincos1cos12tan4．积化和差公式：)]sin()[sin(21cossin；)]sin()[sin(21sincos；)]cos()[cos(21coscos；)]cos()[cos(21sinsin．5．和差化积公式：2cos2sin2sinsin；2sin2cos2sinsin；2cos2cos2coscos；2sin2sin2coscos．三、应用公式解题的基本题型：化简、求值、证明;1、基本技巧：①1的妙用：1＝＝＝＝②凑角：()()xyxy()()xyxy＝＝＝等等。③化异为同：a、b、c、④化一：sincosaxbx＝其中：⑤联系：要注意tan,tan是二次方程20axbxc的两根的应用。例如：设,22，tan,tan是方程23340xx的两根，求。2、化简的标准：3、用诱导公式化简求值的原则：-4–四、三角函数的性质；1、三角函数的性质表：函数正弦函数y＝sinx余弦函数y=cosx正切函数y＝tanx图像定义域值域值域：当x＝时，y最小；当x＝时，y最大；值域：当x＝时y最小；当x＝时y最大；值域：周期奇偶周期T＝奇偶性：周期T＝奇偶性：周期T＝奇偶性：单调性增：减：增：减：增区间：对称中心对称轴2、有关三角函数的最值的类型：①.sincosyaxbx型；②.2sinsinyaxbxc型；③.sincosaxcybxd型；④.22sinsincoscosyaxbxxcx型；⑤.sincosyxx型；⑥.关于sin,cosxx的齐次式型；第⑥种类型的解决思路：a、运用公式2(sincos)1sin2xx；b、构造对偶式；例：求函数sincossincosyxxxx的最大值；五、sin()yAx的图像和性质；1、作图：五点法，依次取x＝-5–2、周期：T＝3、单调区间：0A时，增区间：解不等式≤x≤减区间：解不等式≤x≤0A时，增区间：解不等式≤x≤减区间：解不等式≤x≤4、最大值：0A时，当x＝时，y取最大值A。最小值：0A时，当x＝时，y取最小值A。5、对称轴：解等式x＝6、对称中心：解等式x＝7、奇偶性：当＝时，y是奇函数；当＝时，y是偶函数；8、概念：当xR时，振幅；周期T＝；频率f＝；初相；相位。9、根据图像求函数的解析式：①第一零点：②第一零点的选择原则：例如：①如图是函数sin()(0)yAxA的图像，求解析式；②如图是函数cos()(0)yAxA的图像，求解析式；10、三角变换：(0,0A)将sinyx的图像——————————sin()yx——————————sin()yx————————————sin()yAx；或者：将sinyx的图像————————sin()yx————————sin()yx——————————sin()yAx；原则：在对横坐标进行伸缩或平移时，只对进行变换；11、联系：1、对于cos()yAx，其性质同样可以由图像类似的给出。2、tan()yx的周期是T＝，单调区间是解不等式得到。12、典型例题：xyo1211123-6–已知22sinsincos2cos()yxxxxxR，求解下列各题：①、若已知tan3x，试求y的值；②、用两种以上的方法化简这个函数解析式；③、用两种以上的方法求这个函数的值域；④、求这个函数的单调区间；⑤、求这个函数的对称轴和对称中心；⑥、求当0x时的振幅；⑦、求周期和频率；六、反三角函数的定义：1.定义：在闭区间上，符合条件sin(11)xaa的角x叫a的反正弦，记作：x＝；在闭区间上，符合条件cos(11)xaa的角x叫a的反余弦，记作：x＝；在开区间上，符合条件tan()xaaR的角x叫a的反正切，记作：x＝；2、求解反三角问题的一般步骤：①、②、③例如：已知3sin2x。①、若[0,]2x，求x；②、若[,]2x，求x；③、若3[,]2x，求x；④、若3[,2]2x，求x；⑤、若[0,]x，求x；⑥、若xR，求x；七、数学思想方法：1、方程思想：例、已知tanxa，用a表示x的其他三角函数。2、数形结合思想：例、解三角不等式可以用或；3、整体思想：例、研究函数sin()yAx的图像和性质时可以把看成整体。