三角函数中数学思想方法归纳解析

高考三角函数中数学思想方法归纳解析在三角函数这一章的学习和复习过程中，熟练掌握以下几种数学思想方法，有助于提高同学们灵活处理问题和解决问题的能力。下面通过例题透视三角函数中的数学思想。一、数形结合思想由数想形，以形助数的数形结合思想，具有可以使问题直观呈现的优点，有利于加深同学们对知识的识记和理解；在解答数学题时，数形结合，有利于分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。例1．求不等式xxcossin在,上的解集。解析：设xysin1，xycos2，在同一坐标系中作出在,0上两函数图像(如图1)，在,0上解得xxcossin的解为4x或43x，故由图像得要使得21yy，即434x，由于xysin1，xycos2在,上为偶函数，故在0,上的解为443x，得原不等式的解集为43,44,43二、分类讨论思想分类是根据对象的本质属性的异同将其划分为不同种类，即根据对象的共同性与差异性，把具有相同属性的归入一类，把具有不同属性的归入另一类。分类讨论是数学解题的重要手段，如果对学过的知识恰当地进行分类，就可以使大量纷繁的知识具有条理性。例2．设2,0，且022sin2cos2mm恒成立，求m的取值范围。解析：令12sin2sin22sin2cos22mmmmf令sint，由2,0，得10t，则12122222mmmtmmtttf，1,0t，0f在2,0上恒成立，tf在1,0t上恒成立。由二次函数图像分类讨论得，1）当10m时，需,0mf得10m；2）当1m时，需01f，得1m；oxy图12443y1y23）当0m时，需,00f得021m综上所述，得21m三、整体思想整体思想方法是一种常见的数学方法，它把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的有机联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。往往能起到化繁为简，化难为易的效果。例3．求函数xxxxxfcossin1cossin的最大、最小值。解析：由条件和问题联想到公式xxxxcossin21cossin2，可实施整体代换求最值。令2,24sin2cossinxxxt，1,0cossin1txx，则21cossin2txx2,11,2,211212tttty，故当2t时，y有最大值，且为212；当2t时，y有最小值，且为212四、方程思想方程是研究数量关系的重要工具。我们把所要研究的问题中的已知与未知量之间的相等关系，通过建立方程或方程组，并求出未知量的值，从而使问题得到解决的思想方法称为方程思想。例4．已知2sin3sin，求cossincossin的值解：令xcossincossin，则0cos1sin1xx，2sin3sin，故解得21cos,21sinxxxx，1212122xxxx解得，62x，62cossincossin五、化归转化思想化归转化思想是解决数学问题的一种重要思想方法。处理数学问题的实质就是实现新问题向旧问题的转化、复杂问题向简单问题转化、未知问题向已知问题转化、抽象问题向具体问题转化等。例5．若40，nmcossin,cossin，试确定nm,的大小。解析：当一个问题直接难以入手或相对比较困难时，我们可以等价转化为我们熟知或容易解答的题型。要比较nm,的大小可转化为2m与2n比较大小就容易多了。2sin1,2sin122nm，又2220，故2sin2sin，22nm0,nm，nm六、函数思想函数思想就是在解决问题的过程中，把变量之间的关系抽象成函数关系，把具体问题转化为函数问题，通过对函数相应问题的解决，达到解决变量之间具体问题的目的。例6．已知1sinsinsin222，求证：222sin2sin2sin解析：由1sinsinsin222得2coscoscos222，构造函数：2sinsin2sincossincossincossin2222xxxxxxf显然0xf，故08sinsin2sin2，即得222sin2sin2sin七、逆向思想逆向思想通常是指从问题的反向进行思考，运用于正面考虑繁琐或难以进行时的一种解题思维策略，正确使用这种策略，往往能问题绝处逢生，找到求解的新途径。例7．将函数xxfysin的图像向右平移4个单位后，再作关于x轴的对称变换，得到函数xy2sin21的图像，求xf的解析式。解析：我们可以采用倒推的方法，即将整个变化过程逆过来考虑。xxy2cossin212关于x轴的对称变换为xy2cos，然后再向左平移4个单位得xxxxysincos22sin42cos，对照比较原函数xxfysin得，xxfcos2