三角函数恒等变换教案

两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教学目标理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.二、教学重、难点1.教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2.教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：coscoscossinsin；coscoscossinsin．这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.sincoscoscoscossinsin2222sincoscossin．sinsinsincoscossinsincoscossin让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）sinsincoscossintancoscoscossinsin．通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan、tan的形式呢？（分式分子、分母同时除以coscos，得到tantantan1tantan．注意：,,()222kkkkz以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？tantantantantantan1tantan1tantan注意：,,()222kkkkz．（二）例题讲解例1、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、sin72cos42cos72sin42；（2）、cos20cos70sin20sin70；（3）、1tan151tan15．解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.（1）、1sin72cos42cos72sin42sin7242sin302；（2）、cos20cos70sin20sin70cos2070cos900；（3）、1tan15tan45tan15tan4515tan6031tan151tan45tan15．例213cos()cos()tantan.55已知，，求的值例3、化简2cos6sinxx解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？132cos6sin22cossin22sin30coscos30sin22sin3022xxxxxxx思考：22是怎么得到的？222226，我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于12和32的.小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.作业：1、已知21tan,tan,544求tan4的值．（322）2、已知33350,cos,sin4445413，求sin的值．二倍角的正弦、余弦和正切公式一、教学目标以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.二、教学重、难点教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，sinsincoscossin；coscoscossinsin；tantantan1tantan．我们由此能否得到sin2,cos2,tan2的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中看成即可），（二）公式推导：sin2sinsincoscossin2sincos；22cos2coscoscossinsincossin；思考：把上述关于cos2的式子能否变成只含有sin或cos形式的式子呢？22222cos2cossin1sinsin12sin；22222cos2cossincos(1cos)2cos1．2tantan2tantan2tan1tantan1tan．注意：2,22kkkz（三）例题讲解例4、已知5sin2,,1342求sin4,cos4,tan4的值．解：由,42得22．又因为5sin2,1322512cos21sin211313．于是512120sin42sin2cos221313169；225119cos412sin21213169；120sin4120169tan4119cos4119169．例5、已知1tan2,3求tan的值．解：22tan1tan21tan3，由此得2tan6tan10解得tan25或tan25．（四）小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.例6、试以cos表示222sin,cos,tan222．解：我们可以通过二倍角2cos2cos12和2cos12sin2来做此题．因为2cos12sin2，可以得到21cossin22；因为2cos2cos12，可以得到21coscos22．又因为222sin1cos2tan21coscos2．思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．例7、求证：（１）、1sincossinsin2；（２）、sinsin2sincos22．证明：（１）因为sin和sin是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．sinsincoscossin；sinsincoscossin．两式相加得2sincossinsin；即1sincossinsin2；（２）由（１）得sinsin2sincos①；设,，那么,22．把,的值代入①式中得sinsin2sincos22．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例8、求函数sin3cosyxx的周期，最大值和最小值．解：sin3cosyxx这种形式我们在前面见过，13sin3cos2sincos2sin223yxxxxx，所以，所求的周期22T，最大值为２，最小值为2．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数sinyAx的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．总结：1．公式的变形（1）升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α1—cos2α＝2sin2α（2）降幂公式：cos2α＝1＋cos2α2sin2α＝1－cos2α2（3）正切公式变形：tanα+tanβ＝tan(α+β)（1－tanαtanβ）tanα－tanβ＝tan(α－β)（1＋tanαtanβ)（4）万能公式（用tanα表示其他三角函数值）sin2α＝2tanα1+tan2αcos2α＝1－tan2α1+tan2αtan2α＝2tanα1－tan2α2．插入辅助角公式asinx＋bcosx=a2+b2sin(x+φ)(tanφ=ba)特殊地：sinx±cosx＝2sin(x±π4)3．熟悉形式的变形（如何变形）1±sinx±cosx1±sinx1±cosxtanx＋cotx1－tanα1＋tanα1＋tanα1－tanα若A、B是锐角，A+B＝π4，则（1＋tanA）(1+tanB)=2cosαcos2αcos22α…cos2nα=sin2n+1α2n+1sinα4．在三角形中的结论（如何证明）若：A＋B＋C=πA+B+C2=π2tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCtanA2tanB2＋tanB2tanC2＋tanC2tanA2＝19．求值问题（1）已知角求值题如：sin555°（2）已知值求值问题常用拼角、凑角如：1）已知若cos(π4－α)＝35，sin(3π4＋β)＝513，又π4α3π4,0βπ4,求sin(α＋β)。2）已知sinα+sinβ=35,cosα+cosβ=45,求cos(α－β)的值。（3）已知值求角问题必须分两步：1）求这个角的某一三角函数值。2）确定这个角的范围。如：．已知tanα=17,tanβ=13,且αβ都是锐角，求证：α＋2β＝π41.（2010全国卷1理）(2)记cos(80)k,那么tan100A.21kkB.-21kkC.21kkD.-21kk2.已知02x，化简：2lg(costan12sin)lg[2cos()]lg(1sin2)22xxxxx.解析：原式lg(sinxcosx)lg(cosxsinx)lg(sinxcosx)20．3.（2010天津文）（17）（本小题满分12分）在ABC中，coscosACBABC。（Ⅰ）证明B=C：（Ⅱ）若cosA=-13，求sin4B3的值。【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.满分12分.（Ⅰ）证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得sinBsinC=cosBcosC.于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因为BC，从而B-C=0.所以B=C.（Ⅱ）解：由A+B+C=和（Ⅰ）得A=-2B,故cos2B=-cos（-2B）=-cosA=13.又02B,于是sin2B=21cos2B=223.从而sin4B=2sin2Bcos2B=429，cos4B=227cos2sin29BB.所以4273sin(4)sin4coscos4sin33318BBB4.（2010湖北理）