三重积分的应用

三重积分的应用教学目的：掌握三重重积分在体积，质量，重心、转动惯量等方面的应用。教学重点：空间物体的质量，重心、转动惯量的求法。教学难点：三重积分的应用。教学内容：一、立体的体积由三重积分的几何意义知dxdydzV例1求曲面22222azyx与22yxz所围成的立体体积.解由锥面和球面围成，采用球面坐标，由22222azyx,2ar22yxz,4,20,40,20:ar由三重积分的性质知dxdydzV,adrrddV202020sin44033)2(sin2da.)12(343a二、空间物体的质量由三重积分的物理意义知，当物体在(,,)xyy处的体密度为(,,)xyz时，其质量为(,,)Mxyzdxdydz例2设一物体是由yoz平面上的曲线zy22绕z轴旋转而成的曲面与平面z=5所围成的闭区域，在任一点的体密度为(,,)xyz=22yx，求物体的质量。解曲线zy22绕z轴旋转得的旋转抛物面方程为)(2122yxz,故由抛物面)(2122yxz与z=5所围成．知，在xoy平面上的投影为22yx10．由三重积分的物理意义知.物体的质量为:M=dV=22()yzdv=rdzrdrdr5221002023250三、重心设V是密度为zyx,,的空间物体，zyx,,在V上连续，因V的质量为(,,)VMxyzdxdydz，V对yz平面的静力矩为(,,)Vxxyzdxdydz，由重心坐标的概念有，以zyx,,分别表示V的重心的各个坐标，应有(,,)xVMxxyzdxdydz，所以MdxdydzzyxxMdxdydzzyxxx)..()..(类似地有:MdxdydzzyxyMdxdydzzyxyy)..()..(MdxdydzzyxzMdxdydzzyxzz)..()..(若zyx,,为常数，则VxdxdydzxVydxdydzyVzdxdydzz例3求密度均匀的上半椭球体的重心．解：设椭球体方程为1222222czbyax，0z表示由对称性知x=y=0，而Vzdxdydzz=3/2abczdxdydzz83c三、转动惯量质点A对轴l的转动惯量I是质点A的质量m和到转动轴l的距离r的平方的乘积，即2mrI.当讨论空间物体V的转动惯量问题时，利用讨论质量、重心等相由的方法可得：设空间物体V的密度函数为zyx,,，它对x轴的转动惯量为xI=Vdxdydzzyxzy,,22，同样地yJ=Vdxdydzzyxxz,,22，zJ=Vdxdydzzyxyx,,22，对xy平面的转动惯量为xyJ=Vdxdydzzyxz,,2，对yz平面的转动惯量为yzJ=Vdxdydzzyxx,,2，对zx平面的转动惯量为zxJ=Vdxdydzzyxy,,2，对原点的转动惯量为OJ=Vdxdydzzyxzyx,,222.例4设某球体的密度与球心的距离成正比，求它对于切平面的转动惯量．解：设球体由式2222Rzyx表示，密度函数为222zyxk，则它对切平面Rx的转动惯量为VdxdydzRxzyxkJ2222=200032sincossinRdrrrRddk=6911Rk.例5.求边长为密度均匀的立方体关于其任一棱边的转动惯量.解:如图,求zJ设密度为,则dxdydzyxJVz)(2250220032)(adzyxdydxaaa