上海交通大学2002高等代数考研试题

上海交通大学2002年硕士研究生入学考试高等代数1、（12）)()()(1xbgxafxf，)()()(1xdgxcfxg且0dcba，证)(),()(),(11xgxfxgxf。2、（14）计算xaaaaaaxaaaaaxaaaaaxaxaaaaaaxaaaaaxnnn,321321321。3、（15）k取何值时，下列方程组AX：（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解，此时求其通解。其中111,2111111kkA。4、（12）设A为数域P上n阶可逆矩阵，任意将A分为两个子块21AAA，证n维线性空间nP是齐线性方程组01XA的解空间1V与02XA的解空间2V的直和。5、（10）f(x)是方阵A的特征多项式，g(x)为任多项式，)()(),(xdxgxf，证r(g(A))=r(d(A)).6、（12）求正交变换化二次型323121232221844552xxxxxxxxxf为标准型。7、（15）设为线性空间V的一线性变换，2.证（1）的特征值只能为1或0（2）若用1V与0V分别表示对应于特征值1和0的特征子空间，则VV1，)0(10V（3）)0(101VVVV。8、（10）设A，B为n阶对角化矩阵，AB=BA。证明A，B可同时对角化。上海交通大学2003年硕士研究生一判断以下各题，正确的给出证明，错误的举出反例并给出理由（每小题6分，共24分）1）若f（x）在R上有定义，且在所有的无理点上连续，则f（x）在R上处处连续2）若f（x），g（x）连续，则))(),(min()(xgxfx连续3）任意两个周期函数之和仍为周期函数4）若函数f（x，y）在区域D内关于x，y的偏导数均存在，则f（x，y）在D内连续二．设f（x）在[a，b]上无界，试证：对任意的],[,0ba在上至少有一点0x，使得f（x）在的0x邻域上无界.（12分）三设f（x）对任意的Rx有)()(2xfxf且)(xf在x=0和x=1处连续，试证明f（x）在R上为常数.（12分）四已知)(,....)()2(,0,....,,lim01121xfnaaxfnaaaxxxnxn试求且（12分）五，若实系数多项式)0(,)(01110aaxaxaxaxPnnnnn的一切根均为实数，试证导函数)('xPn也仅有实根。（12分）六设}{nna收敛，级数)(12nnnaan收敛，试证明级数1nna收敛（12分）七设)0)((xxy是严格单调增加的连续函数，)(,0)0(yx是它的反函数，试证明对ababdyydxxba00.)()(,0.,0有（12分）八计算题（每小题12分，共24分）1）求函数444),,(zyxzyxf在条件1xyz下的极值。2）计算积分hzzRzyxVzdxdydzzyIV,0,)(21,arctan)(222为由曲面其中所围成的区域九．设g（x）在),[a上一致连续，且对任意的Anxgaxn)(,lim有，试证：Axgx)(lim（10分）十试证分）10.(0,)1(1)11(ln2xxxx十一。设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f（x）是非线性函数，试证存在分）使得10.()()()('),(abafbffba