【第四讲】图像的几何变换

第四讲第1页共19页南昌大学科学技术学院教案课程名称数字图像处理授课时间周，星期，节（年月日）课次授课方式■理论课□实验课□其他学时2授课题目图像的几何变换目的与要求：1.掌握图像的几何变换基础2.掌握图像的位置变换3.掌握图像的形状变换4.了解图像的复合变换重点与难点：一、重点内容1.图像几何变换基础2.图像位置变换3.图像形状变换二、难点内容1.齐次坐标2.线性插值图像放大教具（多媒体、模型、图表等）：多媒体、板书第四讲第2页共19页南昌大学科学技术学院教案教学内容教学方法时间分配1.图像的几何变换基础2.图像的位置变换3.图像的形状变换4.图像的复合变换阐述+板书两个知识点各一个课时课堂设问：教学内容小结：本讲介绍了图像的几何变换基础，要求掌握图像的位置变换和图像的形状变换简单讲解了图像的复合变换。复习思考题或作业题：P59-6021，25，28，30教学后记（此项内容在课程结束后填写）：学生对图像旋转和插值法不大容易理解。第四讲第3页共19页南昌大学科学技术学院讲稿3.1Z变换（1）Z变换的定义一个离散序列x(n)的Z变换定义为式中，z是一个复变量，它所在的复平面称为Z平面。我们常用Z［x(n)］表示对序列x(n)进行Z变换，也即这种变换也称为双边Z变换，与此相应的单边Z变换的定义如下：这种单边Z变换的求和限是从零到无穷，因此对于因果序列，用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。单边Z变换只有在少数几种情况下与双边Z变换有所区别。比如，需要考虑序列的起始条件，其他特性则都和双边Z变换相同。本书中如不另外说明，均用双边Ｚ变换对信号进行分析和变换。（2）Z变换与傅立叶变换的关系:kaTajezTkjXTjXeXzXj21)(ˆ)()(/单位圆上的Z变换是和模拟信号的频谱相联系的，因而常称单位圆上序列的Z变换为序列的傅里叶变换，也称为数字序列的频谱。数字频谱是其被采样的连续信号频谱周期延拓后再对采样频率的归一化。单位圆上序列的Z变换为序列的傅里叶变换，根据式（1-54）Z变换的定义，用ejω代替z，从而就可以得到序列傅里叶变换的定义为nnznxzX)()()()]([zXnxZ0)()(nnznxzX第四讲第4页共19页可得其反变换:（3）Z变换存在的条件:正变换与反变换:存在的一个充分条件是:即:绝对可加性是傅里叶变换表示存在的一个充分条件。也就是说，若序列x(n)绝对可和，则它的傅里叶变换一定存在且连续。（4）收敛域:I.定义:显然，只有当的幂级数收敛时，Z变换才有意义。对任意给定序列x(n)，使其Z变换收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。按照级数理论，此级数收敛的充分必要条件是满足绝对可和的条件，即要求要满足此不等式，|z|值必须在一定范围之内才行，这个范围就是收敛域。一般收敛域用环状域表示，即njnjenxeXnxF)()()]([deeXdzzzXjeXFnxnjjnzj)(21)(21)]([)(11||1nnjjenxeXnxF)()()]([deeXnxeXFnjjj)(21)()]([1nnx|)(|njnjenxeXnxF)()()]([nnznx|)(|第四讲第5页共19页Rx-|z|Rx+收敛域是分别以Rx-和Rx+为半径的两个圆所围成的环状域（图3-1中的斜线部分）。Rx-和Rx+称为收敛半径。当然Rx-可以小到零，Rx+可以大到无穷大。3-1Z变换的收敛域示意图常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示：分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。Z平面上收敛域的位置，或者说Rx-及Rx+的大小和序列有着密切的关系，分别讨论如下。（1）有限长序列:序列x(n)只在有限区间n1≤n≤n2之内才具有非零的有限值，在此区间外，序列值皆为零。也即其Z变换为设x(n)为有界序列，由于X(z)是有限项级数之和，除0与∞两点是否收敛与n1、n2取值情况有关外，整个Z平面均收敛。如果n10，则收敛域不包括∞点；如果n20，则收敛域不包括z=0点；如果是因果序列，收敛域包括∞点。具体有限长序列的收敛域表示如下：|z|＝Rx－ojIm[z]Re[z]|z|＝Rx＋)()()(zQzPzXnnnnnxnh其他0)()(2121)()(nnnnznxzX第四讲第6页共19页有时将开域(0,∞)称为“有限Z平面”。例3-1x(n)=δ(n)，求此序列的Z变换及收敛域。解这是n1=n2=0时有限长序列的特例，由于所以收敛域应是整个z的闭平面(0≤|z|≤∞)，如图3-2所示。图3-2δ(n)的收敛域(全部Z平面)例3-2求矩形序列x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域。解这是一个有限项几何级数之和。因此（2）右边序列：右边序列是指x(n)只在n≥n1时有值，在nn1时x(n)=0。其Z变换为此式右端第一项为有限长序列的Z变换，按上面讨论可知,它的收敛域为有限Z平面；而第二项是z的负幂级数，按照级数收敛的阿贝尔（N.Abel）定理可推知，存在一个收敛半径Rx-，级数在以原点为中心，以Rx-为半径的圆外任何点都绝对收敛。||00,0||00,0||00,0212121znnznnznn时时时||01)()]([zznnZnnojIm[z]Re[z])1(21101)()(NNnnnnNzzzzznRzX||011)(1zzzzXN01)()()()(11nnnnnnnnznxznxznxzX第四讲第7页共19页因此，综合此二项，只有二项都收敛时级数才收敛。所以，如果Rx-是收敛域的最小半径，则右边序列Z变换的收敛域为Rx-|z|∞右边序列及其收敛域如图3-3所示。图3-3右边序列及其收敛域（n10，|z|=∞除外）因果序列是最重要的一种右边序列，即n1=0的右边序列。也就是说，在n≥0时x(n)有值，n0时x(n)=0，其Z变换级数中无z的正幂项，因此级数收敛域可以包括|z|=∞。Z变换收敛域包括|z|=∞是因果序列的特征。例3-3x(n)=anu(n),求其Z变换及收敛域。解这是一个因果序列，其Z变换为这是一个无穷项的等比级数求和，只有在|az-1|1即|z||a|处收敛如图3-4所示。故得到以上闭合形式的表达式，由于|z||a|，故在z=a处有一极点(用“×”表示)，在z=0处有一个零点(用“○”表示)，收敛域为极点所在圆|z|=|a|的外部。收敛域上函数必须是解析的，因此收敛域内不允许有极点存在。所以，右边序列的Z变换如果有N个有限极点｛z1,z2,…,zN｝存在，那么收敛域一定在模值为最大的这一个极点所在圆以外，也即ojIm[z]Re[z]Rx－||)()(zRznxzXxnn101011)()()(azazzaznuazXnnnnnnnn|]|,|,||,max[|21NxzzzR第四讲第8页共19页对于因果序列，∞处也不能有极点。图3-4例3-3的收敛域（3）左边序列:左边序列是指在n≤n2时x(n)有值，而在nn2时x(n)=0，其Z变换为等式第二项是有限长序列的Z变换，收敛域为有限Z平面；第一项是正幂级数，按阿贝尔定理，必存在收敛半径Rx+，级数在以原点为中心，以Rx+为半径的圆内任何点都绝对收敛。如果Rx+为收敛域的最大半径，则综合以上两项，左边序列Z变换的收敛域为如果n2≤0，则右端不存在第二项，故收敛域应包括z=0，即|z|Rx+。例3-4x(n)=-anu(-n-1),求其Z变换及收敛域。解这是一个左边序列。其Z变换为此等比级数在|a-1z|1，即|z||a|处收敛。因此序列Z变换的收敛域如图1-25所示。函数ojIm[z]Re[z]|a|图1-24a2210)()()()(nnnnnnnnznxznxznxzXxRz||001)()()()(11nnnnnnnnznxznxznxzXnnnnnnnnnzazaznuazX11)1()(||||111)(111azazazzzazazX第四讲第9页共19页在z=a处有一极点，整个收敛域在极点所在圆以内的解析区域。图3-5左边序列收敛域对于左边序列，如果序列Z变换有N个有限极点｛z1,z2,…,zN｝存在，那么收敛域一定在模值为最小的这一个极点所在圆以内，这样X(z)才能在整个圆内解析，也即Rx+=min［|z1|,|z2|,…,|zN|］由以上两例可以看出，一个左边序列与一个右边序列的是完全一样的。所以，只给出Z变换的闭合表达式是不够的，是不能正确得到原序列的。必须同时给出收敛域，才能惟一地确定一个序列。这就说明了研究收敛域的重要性。（4）双边序列：一个双边序列可以看作一个右边序列和一个左边序列之和，即因而其收敛域应该是右边序列与左边序列收敛域的重叠部分。等式右边第一项为右边序列，其收敛域为|z|Rx-;第二项为左边序列，其收敛域为|z|Rx+。如果Rx-Rx+，则存在公共收敛区域，X(z)有收敛域Rx-|z|Rx+这是一个环状区域。如果Rx-Rx+，则无公共收敛区域，X(z)无收敛域，也即在Z平面的任何地方都没有有界的Ｘ(z)值，因此就不存在Z变换的解析式，这种Ｚ变换就没有什么意义。ojIm[z]Re[z]a|z|＝|a|nnnnnnznxznxznxzX01)()()()(第四讲第10页共19页例3-5x(n)=a|n|,a为实数，求其Z变换及收敛域。解这是一个双边序列，其Z变换为设若|a|1，则存在公共收敛域其序列及收敛域如图3-6所示。若|a|≥1，则无公共收敛域，因此也就不存在Z变换的封闭函数，这种序列如图3-7。序列两端都发散，显然这种序列是不现实的序列。图3-6双边序列及收敛域图3-7Z变换无收敛域的序列01)()(nnnnnnnnzazaznxzX||/1||1)(||||11)(12101azazazzazXazazzazXnnnnnn||/1||||)1)(()1(1111)()()(2121azaazazzaazazzXzXzXjIm[z]Re[z]1/aoaa|n|ono＜a＜1a|n|a＞1on第四讲第11页共19页表3-1几种序列的Z变换3.2Z变换收敛域的性质:性质1ROC在Z平面是中心在原点的一个圆环或圆盘,即：LRrZr0;性质2当且仅当x[n]的Z变换的ROC包括单位圆时,x[n]的傅立叶变换才绝对收敛.性质3.ROC内不能包括任何极点.性质4.若x[n]是一个有限长的序列，那么其收敛域就是整个Z平面，可能在Z=0与Z=除外。性质5若x[n]是一个右边序列，那么其收敛域就是从X（z）中的最外面的有限极点向外延伸至（可能包括）Z=。性质6若x[n]是一个左边序列，那么其收敛域是从X（z）中的最里面的非0极点向内延伸至（可能包括）Z=0。第四讲第12页共19页性质7若x[n]是一个双边序列，那么可以看成是一个左边序列与一个右边序列的和，其收敛域一定是一个Z平面的环状。性质8ROC必须是一具连通的区域。由于序列的Z变换不仅取决于表达式，而且取决于ROC，同X（z）表达式如ROC不同则对应完全不同的序列，见