【西安交通大学】【电磁场理论】【全泽松】【宋建平】第2章课件

第二章静电场•静电场满足(场量）=0,磁场为零，电荷相对于观察者不动•并有•及分离面上的边界条件•静电场满足•t0JDE0ED0)()(1212EEnDDns2）（，则EE，称泊松方程2拉普拉斯方程，求解域若无电荷，称02柏松方程的一个特解•其中•对于点电荷•静电场中电位差•对某点的电位必须要选参考点•但注意也有例外')'(41)(VdRrrv0)'()'()'('21222RzzyyxxrrR，)'(2rrqQPQPldEPQPPldEldE考点通常选常选无穷远点处•。习题18求均匀电场E0的电位分布•求空间任一点的电位，可选任一点作为坐标原点•均匀电场电位不能选无穷远处为电位参考点，例如可选原点为电位参考点。0PPldEP00dlEp00rE0cos0rE•导体边界条件用电位表示•其中n为界面方向单位矢量，方向由导体指向介质。注意，整个导体为等电体，导体表面为等位面，导体内部电场为零。0EnDns常数sn•静电场唯一性定理。•在区域V内自由电荷分布给定，V边界上电位或电位的法向导数给定，则V内电场唯一确定•可以根据已知条件对问题提出尝试解，•各种各样的求解方法，只要尝试解能满足边界条件，即能满足唯一性定理所要求的条件，则这个尝试解就是正确的解。ssn•。习题19，求点偶极子的电位及电场•解：空间任一点p的电位)(1140RRq称电偶极距其中LqprrprLqrLRR3020241cos4cos11aaaaaEaaarprrpqLprLqrrLqrrrrrLq303030302cos04sin4cos42sin4cos42sin11]0[球坐标：coscos22LLrRrRLr，时•。习题20，有一长同轴电缆，内外半径分别为a,b,导体间填充有介电常数的电介质，两导体间加电压U,求场分布及单位长度电容。•解：采用柱坐标中的拉斯方程。(r,,z)•积分两次得由边界条件确定c1和c20)(11)(1222222rrrrzrrrrrz无关，与21lncrc210ln|cacUarbrbaUbabUbaUcccclnlnln21lnlnln2lnln1000位为：同轴电缆内任一点的电代入得，将，解得21ln0|cbcbrrbaUzrraaaaElnln0]00[电场强度•.在内导体表面上的电荷密度为：•若用高斯定理也可以做，设内芯表面单位长度的电荷为q0，则长L段内：arns|LqDLrsdDrS02abUsaqlnln2012单位长度电荷量abUqclnln20电容为)ln(ln0abaUarr|rdEUba0rqrrqrED2200，barqdr202)ln(ln0abqabUqlnln200得•习题21，真空中有一段长为L的细致均匀电线其电荷密度为，求此带电直线的线平分面上任一点的电位及电场的分布。•解：在柱坐标中,A点的电位：2/0222|][ln(Lzrz查积分表2/2/422)0,0,(LLzrdzrrLrLln2设rLrL22)2/()2/(2ln在有限区域内布，这是因为电荷不是分时此结果变为当L•修正方法：电位参考点选不在无穷远处，而选择其它电位参考点，电位表达式加一任意常数ccrLln2raaLclnln22，即得的参考点作为选任何点0arDrLL2可求出：注：实际上用高斯定理rararadrErdEln2rrrED22E，则•通常很少有直接利用积分法求解的。按唯一性定理可用其它方法来解，如：分离变量法、镜像法、格林函数法，•复变函数保角变换法等求解方法。•分离变量法•第一步求拉氏方程的通解•第二步根据给定的边界条件确定所得通解中的特定系数，以求得给定问题的特解。•关于边值条件，通常分三类：•第一类边值条件（狄里赫利问题）：给定整个边界面的电位•第二类边值条件（纽曼问题）：给定整个边界面电位的法向导数•第三类边值条件（混合边界问题）：边界上某些部分给定电位，其余部分给电位的法向导数。ssn•根据不同的边界形状，采用不同的坐标系•直角坐标系，拉普拉斯方程为：•设其解为：•代入方程得：•。0222222zyx)()()(),,zhygxfzyx（0)()()()()()()()()(222222zzhygxfyygzhxfxxfzhyg0)(1)(1)(1222222zzhhyyggxxff即•对任何x,y,z上式都要成立。即三项都必须等于常数•。•只要任意两个常数选定，则第三个常数就被确定。我们任意选为正数222222222111dzhdhdygdgdxfdf得222，称分离常数，满足、、、22、•于是得到三个微分方程的解为：•注意到上式x,y,z的函数形式是可以互换的，•例:若为虚数，则f(x)的函数将是ch和sh.•总之，三个乘积解中某个是双曲线函数。则其余二个必为三角函数。zEshzFchzhyDyCygxBxAxf)(sincos)(sincos)(),,(zyx))(sincos)(sincos(zEshzFchyDyCxBxA•此外再考虑若均为零解•则还有解的形式•必须补充到通解中去。•如果电位与某个坐标量（如z）无关，则拉普拉斯方程简化为：•设•要使上式对x,y的一切值都成立，只要两端都等于常数。设此常数为000，，zmmhymmgxmmf654321,,02222yx)()(ygxf2222211令yggxff200222222gdygdfdxfd则有•则通解为：•有时也可用和来代替和上述的9个代定参数由边界条件来确定。))(()sincos)((),(4321ymmxmmyDyCxBshxAchyxyeyeychysh•。习题22，一无限长的矩形金属管，在x=0的一侧电压为U0，在x=a、y=0、y=b处均接地。求金属管内的电位分布。解可写为：满足二维拉氏方程。其坐标无关，所以电位位与金属管为无限长，则电解：在直角坐标，由于Z九个待定参数共有,,,,,,,,))(()sincos)((),(43214321mmmmDCBAymmxmmyDyCxBshxAchyx000)4(00)3(00)2(000)1(Uayxbyaxaxbyaxy；，；，；，；，需满足边界条件b•。•yDxBshxAchymxmmsin)()(421方程变为])[sin(1xbmshBxbmchAybmDmmmm0013cm，）得从条件（mbbm，则，，）得从条件（0sin024.......321/，，，其中则mbmm很重要。仍为方程的解，该思想）所有可能得解的叠加（意义了再为零，则方程就失去）如果注：（21D•代入条件（3）得：0)()sin(1abmshBabmchAybmDmmmm)(/)(abmshabmchABmm零，即必须括号内两项之和为bxmshbamchbamshbxmchybmbmshADyxmmm)sin()().(1于是矩形管内电位为：)5()sin()(1,bamshxabmshmmybmA•利用正交性•上式为U0的富里叶正弦级数，为确定系数Am，，利用三角函数的正交性，两端同乘以，并从0到b对y积分：nmnmdybnmbynbbym2,00sinsin为整数)sin(410ybmAUmm，）得由条件（)sin(ybmdyybnybnAdyybnUbmmbsinsin)sin(01,002'bAn为偶数为奇数则nnxndyybnUnUnUbb0)cos1()sin(A0042002,m•当然可以把n换成m代入式（5）,于是得金属管•内的电位分布为：)()()sin(4),(0bamshxabmshybmmUyxm为奇•。•.习题23：有一很长的矩形金属管，在x=0的一侧保持，x=a的一侧保持电位U0,y=0、y=b的上、下底均接地。求管内电位分布。•解：这是第三类边界条件（混合边值问题）。但是方程的通解仍和上题一样。0nxyba000U0n0)sincos)((yDyCxBshxAch))((),(4321ymmxmmyx•.个参数由边界条件确定式中900)4(000)3(00)2(000)1(Ubxaxbxxaxbyaxyx，，，，yDxBshxAchymxmmsin)()(421，则，）得由条件（0013cm.....2,1/0sin024nbnbmn，，得，，）得由条件（)(sin),(1bxnnbxnnnbynnshBchADyxbxnnbynnnchyxB1,sinA),(03则）得由条件（bannbynnchU1,0sinA4）得由条件（•.dyybnbnchbUAbybmnb00sin20sin，得：利用三角函数正交性，积分并从两端乘以为奇数）为偶数nnchnUnba(400bynbxnchnnchUyxnbasin14),0为奇（则：•.习题24,有两块一端弯成直角的导体相对放置中间留有一小缝。在x轴和z轴方向长度远大于两导体板间的距离b，上导体电位为U0,下导体板接地。求两板间电位分布。•解在直角坐标中，电位与z无关。其解可写成：1234()()(cossin)()xxmmxmmyAyByCeDe确定个待定参数由边界条件9•.ybUx01(。即：趋向平板电容器的电位时）当有限）时，（注，则有xCm002xeyDBybUAxy_0.sin..,0,00,02(那么则有处）xDeyByAybUbUmmmm).sincos(0004131那么，则：.......2,1,0sin,0,3(0mbmbUxbym；要求则必须处）]1[)sin(1,0bxmmmbUeybmAy按叠加原理：bybUbyx2/2/000)4(0处•。byUyybmAybUbbmm2021000sin