不等式的应用(恒成立问题)

不等式的应用——含参数恒成立问题例1：当时，恒成立，求的范围.1,2x20axa从数的角度：0x又2ax2a结论1：（变量分离法）将不等式中的两个变量分别置于不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。若，则afxmaxafxminafx20ax2ax1,2x11,12x21,2ax若，则afx当时，恒成立，求的范围1,2x20fxaxa1020ff例1：当时，恒成立，求的范围.1,2x20axa从形的角度：20222201aaaaa21oxy-2思考：当时，恒成立的条件,xmn0axb()0()0fmfn当时，恒成立的条件有,xmn0fxaxb结论2：从形的角度：()0()0fmfn同理，当时恒有，则有,xmn0fxaxbnmoxynmoxyfxaxb考虑的图象noxym例2：若,恒成立，求的范围。2p212xxppxx即2230410xxx21210xpxx不等式即(2)0(2)0ff故有：2120xxppx解：原不等式552xx-2或552xRxx-2或解得：.设，对上恒成立，21210fpxpxx2,2p当时，恒成立的条件有,xmn0fxaxb结论2：()0()0fmfn例2：若,恒成立，求的范围。2p212xxppxx例3：不等式对恒成立，求的范围。212xxppxxRp解：原不等式等价于对恒成立，2210xpxpxR即22410pp80p解得设对恒成立，2210fxxpxpxRoxyoxy从形的角度：或20(0)fxaxbxca20(0)fxaxbxca00a00a或结论3：（二次函数型）20(0)xRaxbxca有20(0)axbxca或恒成立的条件对变式：不等式对恒成立，求的范围。1,x212xxppxp例3：不等式对恒成立，求的范围。212xxppxxRpⅱ）当时由图可得以下充要条件：22410pp0(1)021,2fp0p得综合可得的取值范围为.8,pⅰ)当时，即时，对一切0fx22410pp80p恒成立；解：原不等式可转化为对2210fxxpxp1,x恒成立结论4：二次函数型在指定区间上的恒成立问题，可以利用根的分布求解。1oyx原不等式可等价于2121xpxx214141xxx10x则2211xxpx4414421811xxxx41481xx8p（当且仅当时取等号）3x4141xx1x另解：变式：不等式对恒成立，求的范围。1,x212xxppxp一次函数型二次函数型从数的角度：求函数最值变量分离法从形的角度：图象法（函数性质及图象）设函数画图列式步骤：设，37fxxxlg37lg101xx1alg37xxa解：原不等式等价于a例4：设，如果恒成立，xRlg370xxa求的范围.10fx可求得例5：当时，不等式恒成立，求的范围。1,2x21logaxxa2121,logayxyx解：设1y则的图象为下图所示的抛物线，xyo121y1=(x-1)21,2x12yy要使对一切，恒成立，1a显然,2x并且必须也只需当时，的函数值大于的函数值。2y1y结论5：若能画出不等号两边函数的图象，则可以通过图象法解题。log211aa且12ay2=logax01axyo121y1=(x-1)2y2=logax1a求函数最值变量分离法从数的角度：从形的角度：•含参数恒成立问题基本方法:图象法（函数性质及图象）反思总结：•数学思想：转化、数形结合、分类讨论等设函数画图列式步骤：