一元二次不等式的应用.

No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第三章不等式栏目导引3.2一元二次不等式的应用第一课时No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第三章不等式栏目导引1．若ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集是∅，则a，b，c满足的条件是.2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如表：则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是．a＞0，b2－4ac＜0x－3－2－101234y60－4－6－6－406(－∞，－2)∪(3，＋∞)3．函数y＝f(x)的图像(如图)，不等式f(x)＞0的解集为．(－1,0)∪(1,2)No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第三章不等式栏目导引解不等式(1)(x2－1)(x2－68＋8)≥0(2)3x－5x2＋2x－3≤2No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第三章不等式栏目导引(1)可以化为不等式组求解，也可以先求出相应方程的根，用数轴标根法求解；(2)先将不等式变形，化为等价整式不等式(组)再求解．[解题过程]方法一：(x2－1)(x2－6x＋8)≥0等价于x2－1≥0，x2－6x＋8≥0，①或x2－1≤0，x2－6x＋8≤0②不等式组①的解集为{x|x≥4或1≤x≤2或x≤－1}．不等式组②的解集为∅，∴原不等式的解集为{x|x≤－1或1≤x≤2或x≥4}．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第三章不等式栏目导引方法二：将原不等式化为(x＋1)(x－1)(x－2)(x－4)≥0.对应方程各根依次为－1,1,2,4，由数轴标根法(如下图所示)得原不等式的解集为{x|x≤－1或1≤x≤2或x≥4}．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第三章不等式栏目导引(2)原不等式等价变形为3x－5x2＋2x－3－2≤0即为－2x2－x＋1x2＋2x－3≤0，即为2x2＋x－1x2＋2x－3≥0.即为2x2＋x－1x2＋2x－3≥0x2＋2x－3≠0即等价变形为2x－1x＋1x＋3x－1≥0x≠－3且x≠1如下图所示，可得原不等式解集为No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第三章不等式栏目导引xx－3或－1≤x≤12或x1.(也可将2x2＋x－1x2＋2x－3≥0转化为不等式组得2x2＋x－1≥0x2＋2x－30或2x2＋x－1≤0x2－2x－30来解．)No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第三章不等式栏目导引[题后感悟](1)数轴标根法(穿针引线法)：①指导思想：分析对应函数的图像．②函数图像的画法：ⅰ.整理：化为(x－x1)(x－x2)·…·(x－xn)＞0(或＜0)的形式．ⅱ.标根：把f(x)＝(x－x1)(x－x2)·…·(x－xn)＝0的n个根xi(i＝1,2，…，n)标在数轴上．ⅲ.穿线：从右至左，从上而下依次穿过(奇穿偶不穿)．③解集求法：大于(小于)零的不等式的解，对应着曲线在x轴上方(下方)部分的点的横坐标x的取值集合．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第三章不等式栏目导引(2)解分式不等式注意的问题：①解分式不等式一定要等价变形为标准形式，就是右边为零，左边为分式再等价转化为不等式组或高次不等式来求解．②若分式不等式含等号，等价转化为整式不等式时，其分母不为零最易丢掉，这一点一定要注意．③当分式不等式分母正负不确定时不可通过不等式两边同乘以分母的方法转化为整式不等式．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第三章不等式栏目导引◎1.解不等式2x＋1x－32x＋13x－2.【错解】两边同约去2x＋1得1x－313x－2，两边取倒数得x－33x－2，解得x－12.故原不等式的解集为x|x－12.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第三章不等式栏目导引【错因】两边约去因式2x＋1时，未对其符号进行讨论，从而不能确定不等号的方向是否发生改变．【正解】移项得2x＋1x－3－2x＋13x－20，通分整理得2x＋12x－33x－20，∴2x＋1≠0，x－33x－20⇒x≠－12，x3或x23，∴原不等式的解集为－∞，－12∪－12，23∪(3，＋∞)．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第三章不等式栏目导引2．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－40对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【错解】不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－40对x∈R恒成立，则只需a－20，Δ0，即a2，4a－22－4a－2－40，解得－2a2.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第三章不等式栏目导引【错因】当a－2＝0时，原不等式不是一元二次不等式，不能应用根的判别式．【正解】因为a＝2时，原不等式为－40，所以a＝2时成立．当a≠2时，由题意得a－20，Δ0，即a2，4a－22－4a－2－40，解得－2a2.综上两种情况可知－2a≤2.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第三章不等式栏目导引1.解不等式：(1)(x＋4)(x＋5)2(2－x)3＜0；(2)x2－4x＋13x2－7x＋2＜1；(3)x2－2x＋1x2＋9x－10≥0.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第三章不等式栏目导引∴原不等式解集为{x|x－5或－5x－4或x2}．解析：(1)原不等式等价于(x＋4)(x＋5)2(x－2)30⇔x＋5≠0，x＋4x－20.⇔x≠－5，x－4或x2，其解集如图的阴影部分．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第三章不等式栏目导引(2)x2－4x＋13x2－7x＋21⇔x2－4x＋1－3x2＋7x－23x2－7x＋20⇔－2x2＋3x－13x2－7x＋20⇔2x－1x－13x－1x－20⇔(2x－1)(x－1)(3x－1)(x－2)0.得不等式的解集为－∞，13∪12，1∪(2，＋∞)．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第三章不等式栏目导引(3)原不等式可化为x－12x－1x＋10≥0，原不等式等价于(x－1)3(x＋10)≥0(x≠1，且x≠－10)．由图所示，可得不等式解集为{x|x－10，或x1}．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第三章不等式栏目导引1．解分式不等式，首先要把它等价变形为整式不等式，其有如下几种类型(1)fxgx0⇔.(2)fxgx0⇔.(3)fxgx≥0⇔⇔f(x)g(x)0或f(x)＝0.(4)fxgx≤0⇔f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0⇔或.f(x)g(x)0f(x)g(x)0f(x)g(x)≥0且g(x)≠0f(x)g(x)0f(x)＝0课时小结：No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第三章不等式栏目导引2．数轴标根法解不等式的步骤：(1)等价变形后的不等式一边是零，一边是各因式的积．(未知系数一定为正数)(2)把各因式的根标在数轴上．(3)用曲线穿根．(奇次根穿透，偶次根不穿透)(4)看图像写出解集．“从上往下同时从右向左”No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第三章不等式栏目导引布置作业课本P87A组第8题和B组第2题No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第三章不等式栏目导引3.2一元二次不等式的应用第二课时No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第三章不等式栏目导引设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围；(2)对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第三章不等式栏目导引[规范作答](1)要mx2－mx－1＜0恒成立，若m＝0，显然－1＜0.若m≠0，m＜0，Δ＝m2＋4m＜0⇒－4＜m＜0.∴－4＜m≤0.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第三章不等式栏目导引(2)方法一：∵f(x)＝mx2－mx－1＝mx－122－m4－1，∴当m＞0时，f(x)在[1,3]上是增函数，∴f(x)max＝f(3)＝6m－1，∴6m－1＜－m＋5，∴0＜m＜67.当m＜0时，f(x)在[1,3]上是减函数，∴f(x)max＝f(1)＝－1，∴－1＜－m＋5，∴m＜6，即m＜0，当m＝0时，f(x)＝－1，－m＋5＝5，∴f(x)＜－m＋5恒成立．综上可得m的取值范围为m＜67.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第三章不等式栏目导引方法二：原不等式即f(x)＋m－5＜0，即mx－122＋34m－6＜0，x∈[1,3]令g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1,3]，当m＞0时，g(x)是增函数，∴g(x)max＝g(3)，∴7m－6＜0，得m＜67.∴0＜m＜67.当m＝0时，－6＜0恒成立．当m＜0时，g(x)是减函数．∴f(x)max＝g(1)＝m－6＜0，得m＜6.∴m＜0.综上所述，m＜67.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第三章不等式栏目导引方法三：原不等式即m(x2－x＋1)＜6，∵x2－x＋1＝x－122＋34＞0∴m＜6x2－x＋1∵函数y＝6x2－x＋1＝6x－122＋34在[1,3]上的最小值为67.∴只需m＜67即可．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第三章不等式栏目导引[题后感悟](1)数形结合法解恒成立问题，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)①f(x)＞0在x∈R上恒成立⇔a＞0Δ＜0；②f(x)＜0在x∈R上恒成立⇔a＜0Δ＜0；③a＞0时，f(x)＜0在区间[α，β]上恒成立⇔fα＜0fβ＜0；No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第三章不等式栏目导引④a＜0时，f(x)＞0在区间[α，β]上恒成立⇔fα＞0fβ＞0；⑤f(x)＞0在区间[α，β]上恒成立⇔[α，β]⊆A，其中A是f(x)＞0的解集．(2)分离参数法解不等式恒成立问题①m＞g(x)在区间D上恒成立⇔m＞g(x)在D上的最大值．②m＜g(x)在区间D上恒成立⇔m＜g(x)在D上的最大值．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第三章不等式栏目导引2.已知不等式x2＋mx＞4x＋m－4.(1)若对一切实数x不等式恒成立，求实数m的取值范围；(2)若对于0≤m≤4的所有实数m，不等式恒成立，求实数x的取值范围．解析：(1)不等式变形为x2＋(m－4)x＋4－m＞0，设f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－m，对一切实数x不等式恒成立，等价于函数f(x)的函数值恒为正值，或者说函数f(x)的图像在x轴的上方．∴Δ＝(m－4)2－4(4－m)＝m2－4m＜0.解得0＜m＜4.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第三章不等式栏目导引(2)将x看成参数，m看成自变量，不等式转化为m(x－1)＋x2－4x＋4＞0，令g(m)＝m(x－1)＋x2－4x＋4，则g(m)＞0对0≤m≤4恒成立．可得g0＞0g4＞0，即x2－4x＋4＞0x2＞0，解得x≠0且x≠2，即x的取值范围为{x|x∈R且x≠0，x≠2}No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第三章不等式栏目导引汽车在行驶时，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一