专题3应用动量和能量关系解决相互作用物体问题

专题三应用动量和能量关系解决相互作用物体问题共10页，第1页专题三应用动量和能量关系解决相互作用物体问题【专题分析】动量和能量的综合问题，是高中力学中最重要的综合问题，也是难度较大的问题。分析这类问题时，应首先建立清晰的物理图景，抽象出物理模型，选择物理规律，建立方程进行求解。此类问题的关键是分析清楚物体间能量的转移和转化，根据东狼守恒定律和能量转化守恒定律分别建立方程，然后联立求解。是这一部分常用的解决物理问题的数学方法。动量和能量的综合问题，属于学科内综合，主要考查该部分内容与其它知识（如平衡、牛顿定律、电场、磁场）等的联系，对考生的各方面能力要求都很高，如根据实际问题建立物理模型的能力、应用数学知识解决物理问题的能力、空间想象能力和综合处理问题的能力，甚至还考查考生的数学运算能力。在动量和能量守恒综合问题中，我们可以根据不同题目的物理情景分为若干种模型，如碰撞模型、板块模型等。把握住各种模型的思维方式和处理方法，可以比较容易地解决动量能量问题，因为一个复杂的物理问题往往是多个简单物理过程的组合。【题型讲解】题型一碰撞类问题例题1：(2007全国Ⅰ)如图3-3-1所示，质量为m的由绝缘材料制成的球与质量为M=12m的金恪示并挂悬挂。现将绝缘球拉至与竖直方向成θ=60°的位置自由释放，下摆后在最低点处与金属球发生弹性碰撞。在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场.已知由于磁场的阻尼作用，金属球将于再次碰撞前停在最低点处。求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°.解析：设在第n次碰撞前绝缘球的速度为vn－1，碰撞后绝缘球、金属球的速度分别为vn和Vn。由于碰撞过程中动量守恒、碰撞前后动能相等，设速度向左为正，则Mvn－1=MVn－Mvn2221111222nnnmvMVmv由①、②两式及M=19m解得1910nnvv1110nnVv第n次碰撞后绝缘球的动能为201(0.81)2nnnEmvEE0为第1次碰撞前的动能，即初始能量。图3-3-1mMθ专题三应用动量和能量关系解决相互作用物体问题共10页，第2页绝缘球在θ=θ0=60°与θ=45°处的势能之比为00(1cos)(1cos)EmglEmgl=0.586式中l为摆长。根据⑤式，经n次碰撞后，0(0.81)nnEE易算出，（0.81）2=0.656，（0.81）3=0.531，因此，经过3次碰撞后θ将小于45。［变式训练］(2007全国Ⅱ)用放射源钋的a射线轰击铍时，能发射出一种穿透力极强的中性射线，这就是所谓铍“辐射”。1932年，查德威克用铍“辐射”分别照射（轰击）氢和氮（它们可视为处于静止状态）。测得照射后沿铍“辐射”方向高速运动的氢核和氮核的速度之比为7：0。查德威克假设铍“辐射”是由一种质量不为零的中性粒子构成的，从而通过上述实验在历史上首次发现了中子。假设铍“辐射”中的中性粒子与氢或氦发生弹性正碰，试在不考虑相对论效应的条件下计算构成铍“辐射”的中性粒子的质量。（质量用原子质量单位u表示，1u等于1个12C原子质量的十二分之一。取氢核和氮核的质量分别为1.0u和14u。）（答案：m＝1.2u）[思考与总结]题型二板块类问题例题2：(07天津)如图3-3-2所示，水平光滑地面上停放着一辆小车，左侧靠在竖直墙壁上，小车的四分之一圆弧轨道AB是光滑的，在最低点B与水平轨道BC相切，BC的长度是圆弧半径的10倍，整个轨道处于同一竖直平面内。可视为质点的物块从A点正上方某处无初速度下落，恰好落入小车圆弧轨道滑动，然后沿水平轨道沿街至轨道末端C处恰好没有滑出。已知物块到达圆弧轨道最低点B时对轨道的压力是物块重力的9倍，小车的质量是物块的3倍，不考虑空气阻力和物块落入圆弧轨道时的能量损失。求（1）物块开始下落的位置距水平轨道BC的竖直高度是圆弧半径的几倍；（2）物块与水平轨道BC间的动摩擦因数μ。解析：本题涉及动量守恒定律和能量转化和守恒定律，但是必须分清守恒的过程。在物块在圆弧面上滑动时，动量不守恒，因为在此过程中竖直墙对小车有弹力作用，因此只能使用机械能守恒定律。当物块滑上水平轨道后，小车开始离开竖直墙，系统合外力为零，总动量守恒，可以使用两个守恒定律求解，最终物块滑到C处恰好没有滑出小车，说明最终图3-3-2专题三应用动量和能量关系解决相互作用物体问题共10页，第3页两物体达到共速。（1）设物块的质量为m，其开始下落处的位置距BC的竖直高度为h，到达B点时的速度为v，小车圆弧轨道半径为R。由机械能守恒定律，有221mvmgh根据牛顿第二定律，有Rvmmgmg29解得h=4R即物块开始下落的位置距水平轨道BC的竖直高度是圆弧半径的4倍。（2）设物块与BC间的滑动摩擦力为F，物块滑到C点时与小车的共同速度为v′，物块在小车上由B运动到C的过程中小车对地面的位移大小为s。依题意，小车的质量为3m，BC长度为10R。由滑动摩擦定律，有mgF由动量守恒定律，有vmmmv)3(对物块、小车分别应用动能定理，有222121)10(mvmvsRF0)3(212vmFs解得3.0此题也可以直接使用能量转化守恒定律BC22)3(2121FSvmmmv然后与动量守恒定律联立求解动摩擦因数的值。［变式训练］如图3-3-3所示，小车长L=2m，质量为m1=1kg，静止在光滑的水平面上，质量m2=1kg的物体在小车上以v0=2.5m/s的水平速度从A端向B端滑动，若m1与m2间的动摩擦因数μ=0.05。（g=10m/s2）求：（1）m2离开小车时，物体和小车的速度分别为多少？（2）上述过程中系统损失的机械能是多少？（3）如果要求物体不从小车上滑出，则小车的长度最少多长(答案：(1)v1=0.5m/s，v2=2m/s(2)1EJ(3)L=3.125m)[思考与总结]v0BA图3-3-3专题三应用动量和能量关系解决相互作用物体问题共10页，第4页题型三弹簧类问题例题3：如图3-3-4所示，两物体A、B中间由弹簧连接，A静止靠在竖直墙上，弹簧处于原长状态，mA=mB=2kg。现对B施加一向左的外力，缓慢向左压缩弹簧，当外力做功为W=36J时，撤去外力，物体B在弹簧弹力作用下向右运动。求：（1）当弹簧第一次恢复原长时，物体B的速度多大？（2）当弹簧第一次达到最大长度时，弹性势能多大？此时两物体的速度多大？（3）当弹簧第一次达到最短长度时，弹性势能多大？此时两物体的速度多大？解析：对弹簧的弹性势能，只与弹簧的形变量有关，形变量越大，弹性势能越大。当弹簧的形变量最大时，与弹簧固连的物体必然速度相同。本题在运动过程中，机械能始终守恒，但动量只有在物体A离开竖直墙之后才会守恒，这在解题时需要注意。（1）外力做功W=36J时，弹簧的弹性势能Ep=W=36J当撤去外力，弹簧在第一次恢复到原长的过程中，物体A不动，物体B获得向右的速度v0，由机械能守恒定律2021vmEBpv0=6m/s(2)当弹簧第一次达到最大长度时，A、B两物体速度相同，由动量守恒定律和机械能守恒定律可得10)(vmmvmBAB12120)(2121pBABEvmmvmv1=3m/s，Ep1=18J(3)当弹簧第一次达到最短长度时，A、B两物体速度相同，由动量守恒定律和机械能守恒定律可得20)(vmmvmBAB22220)(2121pBABEvmmvmv2=3m/s，Ep2=18J［变式训练］如图3-3-5所示，位于光滑水平桌面上的小滑块P和Q都可视作质点，质量相等。Q与轻质弹簧相连。设Q静止，P以一定初速度向Q运动并弹簧发生碰撞。在整个过程中，弹簧具有的最大弹性势能等于[]A.P的动能B.P的动能12C.P的动能13D.P的动能14PBA图3-3-4图3-3-5PQ专题三应用动量和能量关系解决相互作用物体问题共10页，第5页(答案：B)[思考与总结]题型四综合类问题例题4：如图3-3-6所示，光滑水平面上静止一质量为M=20kg的长木板，木板右端放一质量为m=16kg的金属块，左端紧靠一根左侧固定且处于原长的轻弹簧（不拴接）。现有一质量为m0=0.05kg的子弹，以v0=1000m/s的速度击中金属块，并在极短时间内以v1=920m/s的速度弹回，使金属块瞬间获得一定的速度沿木板向左滑动。由于摩擦因而带动木板运动并开始压缩弹簧。当弹簧被压缩mx0.1时，金属块与木板刚好相对静止，且此后的运动中，两者一直没有发生相对滑动。已知金属块与木板间的动摩擦因数μ=0.5，金属块从开始运动到与木板达到共速共用了t=0.8s的时间，弹簧始终处于弹性限度以内。求：⑴金属块与木板刚好共速的瞬时，弹簧的弹性势能为多大？⑵运动中金属块与木板的相对位移d及整体能获得的最大速度vm各为多大？解析：本题涉及了多个物理模型，有子弹和金属块间的碰撞，有金属块与木板间的滑动，还有弹簧问题。碰撞过程属于动量守恒过程，但金属块和木板间的滑动过程由于出现了弹簧的弹力，动量将不再守恒。⑴由于碰撞时间极短，所以子弹与金属块的碰撞过程动量守恒。设碰撞后金属块速度为v2，则：10200vmmvvm碰撞后金属块做匀减速运动，木板做变加速运动，共同速度v可由金属块求得。以金属块为研究对象，根据动量定理：mvmvmgt2以木板为研究对象，设此过程木板克服弹力做功为W，则：221MvWmgx克服弹力做功等于弹性势能的增加，即：WEp由以上各式可解得：JEp40⑵设金属块从开始运动到与木板刚好达到相对静止时对地位移为SmgSmvmv2222121xSd整个过程由于摩擦系统损失的机械能为：v0mM图3-3-6专题三应用动量和能量关系解决相互作用物体问题共10页，第6页mgdE当弹簧将木板弹开时，金属块与木板速度最大，由能量守恒可得：EmvvmMm22221)(21由以上各式可解得：md2.2，smvm/356[变式训练]如图3-3-7所示，质量为M=3kg，长度为L=1.2m的木板静止在光滑水平面上，其左端的壁上固结着自由长度为L0=0.6m的轻弹簧，右端放置一个质量为m=1kg的小物体，小物体与木板间的动摩擦因数为0.4，今对小物体施加一个水平向左的瞬时冲量I0=4Ns，小物体相对于木板向左运动而压缩弹簧使弹性势能增大为最大值Em，接着小物体又相对于木板向右运动，最终恰好相对静止于木板的右端，设弹簧未超出弹性限度，并取重力加速度为g=10m/s2，求：（1）当弹簧弹性势能最大时小物体速度v。（2）弹性势能的最大值Em及小物体相对于木板向左运动的最大距离Lm。(答案：v=1m/s，Em=3J，Lm=0.75m)[思考与总结]题型五在电磁场中的动量和能量问题问题例题5：如图所示，空间有一垂直纸面向外、磁感应强度为B=0.5T的匀强磁场，一质量为M=0.2kg且足够长的绝缘木板静止在光滑水平面上。在木板的左端无初速放置一质量为m=0.1kg、带电量为q=＋0.2C的滑块，滑块与绝缘木板间的动摩擦因数为μ=0.5。滑块受到的最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力。现对木板施加一水平瞬时冲量，使其获得向左的初速度v0=18m/s。g取10m/s2，求：（1）滑块和木板的最终速度；（2）系统在运动过程中产生的热量。解析：木板向左运动，使滑块受到向左的摩擦力，向左加速，由左手定则可知，滑块受到向上的洛仑兹力。由于系统所受合外力为零，所以动量守恒。在一般情况下，板块模型中二者会达到共速，所以在解题时很容易出现以下的错解由动量守恒定律vmMMv)(0共同速度v=12m/s由能量守恒定律I0mM图3-3-7························Bv0图3-3-8专题三应用动量和能量关系解决相互作用物体问题共10页，第7页QvmMMv220)(2121生成热量Q=10.8J正确解答：假设滑块和木板能打到共同速度，由动量守恒定律vmMMv)(0共同速度v=12m/s此时，滑块受到的洛仑兹力F=qvB=1.2Nmg所以滑块不会加速到1