专题4排列组合与二项式定理

专题4排列组合与二项式定理6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为()A．1或3B．1或4C．2或3D．2或4答案D设函数f(x)＝x－1x6，x0，－x，x≥0，则当x0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为()A．－20B．20C．－15D．158名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（）（A）（B）（C）（D）【答案】A设m、n都是不大于6的自然数，则方程表示双曲线的个数是（）A．6B．12C．16D．151.【2010•全国卷2理数】将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A.12种B.18种C.36种D.54种【答案】B【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.2.【2010•全国卷2文数】将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A.12种B.18种C.36种D.54种【答案】B【解析】∵先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有，余下放入最后一个信封，∴共有3.【2010•江西理数】展开式中不含项的系数的和为（）A.-1B.0C.1D.2【答案】B【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难则反。采用赋值法，令x=1得：系数和为1，减去项系数即为所求，答案为0.4.【2010•重庆文数】某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有（）（A）30种（B）36种（C）42种（D）48种【答案】C【解析】法一：所有排法减去甲值14日或乙值16日，再加上甲值14日且乙值16日的排法即=42法二：分两类甲、乙同组，则只能排在15日，有=6种排法甲、乙不同组，有=36种排法，故共有42种方法5.【2010•重庆理数】某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（）A.504种B.960种C.1008种D.1108种【答案】C【解析】分两类：甲乙排1、2号或6、7号共有种方法甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有种方法故共有1008种不同的排法6.【2010•北京理数】7.【2010•四川理数】由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（）（A）72（B）96（C）108（D）144【答案】C【解析】先选一个偶数字排个位，有3种选法①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，3＝24个②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共3＝12个算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个8.【2010•天津理数】如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用（）（A）288种（B）264种（C）240种（D）168种【答案】D【解析】本题主要考查排列组合的基础知识与分类讨论思想，属于难题。（1）B,D,E,F用四种颜色，则有种涂色方法；（2）B,D,E,F用三种颜色，则有种涂色方法；（3）B,D,E,F用两种颜色，则有种涂色方法；所以共有24+192+48=264种不同的涂色方法。9.【2010•天津理数】阅读右边的程序框图，若输出s的值为-7，则判断框内可填写()(A)i＜3?（B）i＜4?（C）i＜5?（D）i＜6?【答案】D【解析】本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于容易题。第一次执行循环体时S=1，i=3;第二次执行循环时s=-2，i=5；第三次执行循环体时s=-7.i=7，所以判断框内可填写“i6?”,选D.10.【2010•全国卷1文数】的展开式的系数是()(A)-6(B)-3(C)0(D)3【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.【答案】A【解析】的系数是-12+6=-611.【2010•全国卷1理数】某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()(A)30种(B)35种(C)42种(D)48种【答案】A12.【2010•全国卷1理数】的展开式中x的系数是()(A)-4(B)-2(C)2(D)4【答案】C13.【2010•四川文数】由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是（）（A）36（B）32（C）28（D）24【答案】A【解析】如果5在两端，则1、2有三个位置可选，排法为2×＝24种如果5不在两端，则1、2只有两个位置可选，3×＝12种共计12＋24＝36种14.【2010湖北文数】现有名同学支听同时进行的个课外知识讲座，名每同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（）A．B.C.D.15.【2010•湖南理数】在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（）A.10B.11C.12D.1516.【2010•湖北理数】现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）A．152B.126C.90D.54【答案】B【解析】分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有；若有1人从事司机工作，则方案有种，所以共有18+108=126种，故B正确17.【2010·重庆高考四月试卷】设m、n都是不大于6的自然数，则方程表示双曲线的个数是（）A．6B．12C．16D．15【答案】C，【解析】共有4种可能，而与相互独立，故共有种可能。18.【2010·山东省淄博市一模】若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y=x2，值域为{1，4}的“同族函数”共有（）A．7个B．8个C．9个D．10【答案】C【解析】由题意，问题的关键在于确定函数定义域的个数：第一步先确定函数值1的原象：因为y=x2，当y=1时，x=1或x=-1，为此有三种情况：即{1}，{-1}，{1，-1}；第二步，确定函数值4的原象，因为y=4时，x=2或x=-2，为此也有三种情况：{2}，{-2}，{2，-2}。由分步计数原理，得到：3×3=9个。选C。19.【2010·绵阳三诊】某地为上海“世博会”招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号、2号、…、19号、20号．若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的在另一组．那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是（）A.16B.21C.24D.90【答案】B【解析】要“确保5号与14号入选并被分配到同一组”，则另外两人的编号或都小于５或都大于14，于是根据分类计数原理，得选取种数是，选Ｂ.20．【湖北省武汉市2010届高中毕业生四月调研测试】用0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字的三位数中能被9整除的个数为（）A．14B．16C．18D．24【答案】B【解析】因为三位数被9整除，所以各个数位数字之和是9的倍数，所以分成这样几组数：{0，4，5}；{1，3，5}；{2，3，4}，所以共有：2A＋CA=16。21．【湖北省襄樊五中2010届高三年级5月调研测试】用1，2，3这三个数字组成四位数，规定这三个数字必须都使用，但相同的数字不能相邻，以这样的方式组成的四位数共有（）A．9个B．18个C．12个D．36个【答案】B【解析】相同的数字可以是1，2，3三种情况：当相同数字中间间隔一个数字时，有CA个情况；相同数字中间间隔两个数字时，有A种情况。由分类计数原理，四位数的总数为：3CA＋3A=18.22．【2010·广东省四月调研】现有5位同学准备一起做一项游戏，他们的身高各不相同。现在要从他们5个人当中选择出若干人组成两个小组，每个小组都至少有1人，并且要求组中最矮的那个同学的身高要比组中最高的那个同学还要高。则不同的选法共有A．B．C．D．【答案】B【解析】给5位同学按身高的不同由矮到高分别编s5u号为1，2，3，4，5，组成集合若小组A中最高者为1，则能使B中最矮者高于A中最高者的小组B是的非空子集，这样的子集有个，∴不同的选法有15个；②若A中最高者为2，则这样的小组A有2个：、，能使B中最矮者高于A中最高者的小组B是的非空子集，这样的子集（小组B）有个，∴不同的选法有个；③若A中最高者为3，则这样的小组A有4个：、、、，能使B中最矮者高于A中最高者的小组B是的非空子集，这样的子集（小组B）有个，∴不同的选法有个；④若A中最高者为4，则这样的小组A有8个：、、、、、、、，能使B中最矮者高于A中最高者的小组B只有1个，∴不同的选法有8个。∴综上，所有不同的选法是个，∴选B.23．【2010·崇文一模】2位男生和3位女生共5位同学站成一排．若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为（）A．36B．42C．48D．60【答案】C【解析】不妨将5个位置从左到右编号为1，2，3，4，5．于是甲只能位于2，3，4号位．i）当甲位于2号位时，3位女生必须分别位于1，3，4位或者1，4，5位．于是相应的排法总数为；ii）当甲位于3号位时，3位女生必须分别位于1，2，4位或者1，2，5位或者1，4，5或者2，4，5位．于是相应的排法总数为．iii）当甲位于4号位时，情形与i）相同．排法总数为．综上，知本题所有的排法数为12+24+12=48．24．【内蒙古赤峰市2010年高三年级统一考试】某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为（）A．360B．520C．600D．720【答案】C【解析】甲、乙两名同学只有一人参加时，有CCA=480；2）甲、乙两人均参加时，有CAA=120。共有600种，选C。25．【2010·西城一模】某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（）A．B．16C．24D．32【答案】C【解析】将三个人插入五个空位中间的四个空档中，有种排法．26．【2010·全国大联考高三第五次联考】有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A．1260B．2025C．2520D．5040【答案】C【解析】C·C·A=2520.27．【2010·石家庄质检（二）】一排七个座位，甲、乙两人就座，要求甲与乙之间至少有一个空位，则不同的坐法种数是（）A．30B．28C．42D．16【答案】A【解析】A－6A=30。故选A。28．【2010·全国大联考高三第五次联考】设集合A={0,2,4}、B={1,3,5}，分别从A、B中任取2个元素组成无重复数字的四位数，其中能被5整除的数共有（）A．24个B．48个C．64个D．116个【答案】C【解析】(1)只含0不含5的有：CCA=12；(2)只含5不含0的有：CCA=12；(3)含有0和5的有：①0在个位时，有C