一类非线性疟疾传播模型的Hopf分支(xiugai)

（作者简介：高霞（1979-），女，甘肃天水人，讲师，硕士，主要研究方向为生态数学Email:[e-mail].）一类非线性疟疾传播模型的Hopf分支1高霞,2陈斯养（1.甘肃工业职业技术学院，甘肃天水741025;2.陕西师范大学数学与信息学院，陕西西安710062）摘要：根据特征方程特征根的情况讨论了一类非线性疟疾传播模型的模型的Hopf分支问题.使用消元法来检验模型的稳定性是否依赖于时滞；最后运用Matlab对模型的数值解进行图形拟合，验证了文中定理的可实现性.关键词：时滞；稳定性；Hopf分支；消元法中图分类号：O175.7文献标识码：A0引言众所周知，传染病历来就是人类的大敌，尽管随着医疗水平的提高和卫生设施的改革如天花等曾肆虐传染病已经得到有效的控制，但世界卫生组织的报告表明：目前全球60亿人中约有半数的人仍在受到不同传染病的威胁。因此，对各种传染病的发病机理，传播过程和防治方法的研究已成为当今人类需要迫切解决的一个重大问题。传染病动力学是一种对传染病的流行病的流行规律进行理论定量研究的方法。文献[1-6]中人们根据疾病在种群中的传播规律，首先建立能够反映传染病动力学的模型，然后对模型进行定性分析和数值模型，为人们探索传染病蔓延和预防提供理论依据，并已有大量的研究成果应用于医学等诸多领域。如文献[2]中公共卫生医生Ross博士利用微分方程研究了疟疾在蚊子和人类之间传播的规律，其研究表明，若将蚊虫的数量控制在一个临界值以下，疟疾的流行将会得到控制。文献[3]中Kermack与McKendrick构造了SIS模型SSIIISII为传染病动力学的研究奠定了坚实的基础，在以后的几十年里，传染病动力学得到了蓬勃的发展.1模型引入文献〔1〕研究了一类具有潜伏期，接种率且无垂直传染的疟疾模型()(-)1(-)()()(-)1(-)()dhtmththtdtdmthtmtmtdt的正平衡态的存在性，模型局部渐进稳定及Hopf分支的存在性条件..其中参数NabN表示传染率，ac表示人的传染率即蚊虫被人感染的几率，表示人类的死亡率与康复率2之和，表示蚊子的死亡率，(-)mt表示发生率即人类的新患者数.同时，上述模型提出了无垂直传染，即只有完全康复了才能再次被再次感染的假设.由于在传染病动力学中时滞是影响流行病传播的重要因素，疟原虫在人和蚊子体内分别有一定的潜伏期，所以必须得考虑是指对稳定性的影响，在本文中，将讨论模型(1.1)由时滞产生的Hopf分支问题。1212()()1()()()()()1()()()dhtmtkhtkhthtdtdmthtkmtkmtmtdt(1.1)模型（1.1）在满足条件1()=(),h2()=(),m1-,0其中1=max{,}，1,0iBC，0,(=1,2),ii即1(0)=(0)0,h2(0)=(0)0.m时存在着唯一的正平衡态，近似变换以后得到了如下的近似系统***1212***1212()()()()[()1]()0()[()1]()()()()0dHtkmHtkmHtkkhMtdtdMtkkmHtkhMtkhMtdt（1.2）下面根据特征方程特征根的情况讨论（1.1）模型的分支问题.2局部Hopf分支的存在性模型（1.1）的特征矩阵为***12120***1212[1()]()[1()]kmkmkkhEJkkmkhkh即有特征方程212120ABCCDDE(2.1)其中*22,Ckh**121(),Dkmkh**221()Dkmkm****221212[1()][1()]Ekkhmkkhkkm下面将分三种情况进行讨论情形1。若=,，这是模型（1.1）的平衡态为000(,)(0,0)Ehm，相当于模型是自由病**11()(),Akmkh**11()(),Bkmkh*12Ckm,3例的情况，此时（2.1）变为2()0ABE(2.2)即2(2)0（2.3）因为2(2)40,(2)0,0,，所以模型在(1.1)平衡态00(,)(0,0)hm处是渐近稳定的.设,(0)i是方程的一个根，记21();PAB()1()QE显然，0不是方程（2.2）的根，将i代入（2.2）式有21()();PiBAi1()[cos()sin(())]QiEi211()()()[cos()sin()]HiPiQiAiBEi令22422111()()()(2)0.FPiQiAB设2221,()(2)0uFiuABu，因为22(2)20,AB，这时模型(1.1)的平衡态00(,)(0,0)hm是不稳定的.情形2当且0E时，上述的特征方程（2.1）具有下面的形式2()0ABCD(2.4)其中1212,CCCDDD当0时，（2.4）式变为2()0ACBD,因0,0ACBD，这时方程（2.4）有两个负实根，则在此情形下模型（1.3）的平衡态是渐近稳定的.其生态学的意义是流行病或自由病例，最终疾病消失.设,(0)i是方程（2.4）的一个根，记22();PAB2()QCD显然，0不是方程（2.4）的根，将i代入有22()();PiBAi2()QiCiD令22422222222()()()(2)()0.FPiQiCABBD4设2u，则上述方程变为22222(2)()0uCABuBD（2.5）对于方程（2.5）的系数，有以下的结论：（1）当BD或2222,(2)4()BDCBABD，且22(2)0CBA时，方程（2.3）存在负实根;（2）当2222,(2)2BDCBABD时，方程（2.3）有两个不同的正实根.若上述的条件（2）成立，设方程()0Fi存在着两个正实根，分别记为,且，则有222222(2)(2),22CBACBA(2.6)其中22222(2)4().CBABD由（2.1）式得2222(2)CBA，又322()4(2)FCBA,因此()F与2222(2)CBA符号是相同的.将,(0)i代入方程（2.2）得2()0iAiBCiD分离实虚二部2sin()cos()0BCDsin()cos()0ADD由上式有222()sin()CBADDC2222()cos()DACBDDC所以，存在202[()]arctan,,(02,1,2)()iCBADiDACBD.从上述的讨论中，当2,0,1,2jjj时模型（1.3）将产生分支周期5解.通过如上讨论，可得如下定理：定理2.1假设**121211212=,,()()()1kkmkkhkkkkk成立，则（i）若0，模型（1.3）在平衡态**(,)hm处是局部渐进稳定的；(ii)若条件（1）成立，当0时模型（1.3）在平衡态**(,)hm处是局部渐进稳定的；（iii）若条件（2）成立，模型（1.3）在平衡态**(,)hm处不稳定.情形3当时，特征方程（2.1）可以分解为****1212()()()Hkmkmkhkh（2.7）即12()()()HHH记**112()()Hkmkm**212()()Hkhkh(2.8)显然，零不是方程12()0,()0HH的根.设,(0)i，则下列方程**112()()0iHiikmkm**212()()0iHiikhkh至少有一个成立.假设1()0Hi成立，则133()()()HPQ*31()Pkm;*32()Qkm*31();Piikm*32()(cos()sin())Qikmi因此222*2*233312()()()()()0FiPiQikmkm要使得方程3()0Fi有正实根，必有6*2*212()()0kmkm即*2121211212212()()()()()()2()kkkkkkmkkkkkkk（2.9）又由于**1111211()(cossin)Hiikmkmi从而1*2sin()km*11*2cos()kmkm则存在2**211121*1arctan,()kmkmkm使得当0时，模型（1.3）是局部渐进稳定的；当0时，模型（1.3）是不稳定的，其中10111,,如上所述.同理，假如方程2()0Hi成立，则233()()()HPQ*31()Pkh;*32()Qkh*321();Piikh*3222()(cos()sin())Qikhi因此222*2*2222222212()()()()()0FiPiQikhkh很显然，要使得方程有有正实根，必有*2*212()()0khkh即21211212212()()()()()2()kkkkkkkkkkk（2.10）又由于**2221222()(cossin)Hiikhkhi7从而22*2sin()kh*12*2cos()khkh则存在2**222221*1arctan,()khkhkh使得当0时，模型（1.3）在平衡态**(,)hm处是局部渐进稳定的；当0时，模型（1.3）在平衡态**(,)hm处是不稳定的，其中20222,,如上所述.综上所述，有如下结论定理2.2假设**1212,[1()][1()]0,kkhkkm且2121212212()()min{,}2()2()kkkkkkkkkk，则（i）若c，模型（1.3）在平衡态**(,)hm处是局部渐进稳定的；(ii)若c，模型（1.3）在平衡态**(,)hm处是不稳定的；（iii）若c，模型（1.3）在平衡态**(,)hm处产生Hopf分支.其中12000012max{,},,.c3消元法下面使用由Hertz和Zeheb提出的消元法来检验模型的稳定性是否依赖于时滞.先假设，在这种情况下模型（1.3）的特征方程（2.1）变为220ACDEB