专题一第4讲不等式

1§7.2均值不等式及其应用2014高考会这样考1.利用均值不等式求最值、证明不等式；2.利用均值不等式解决实际问题．复习备考要这样做1.注意均值不等式求最值的条件；2.在复习过程中注意转化与化归思想、分类讨论思想的应用．1．均值不等式ab≤a＋b2(1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)ba＋ab≥2(a，b同号)．(3)ab≤a＋b22(a，b∈R)．(4)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)．3．算术平均值与几何平均值设a0，b0，则a，b的算术平均值为a＋b2，几何平均值为ab，均值定理可表述为：两个正实数的算术平均值不小于它的几何平均值．4．利用均值不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是p24.(简记：和定积最大)[难点正本疑点清源]1．在应用均值不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．2．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用2就是ab≤a2＋b22；a＋b2≥ab(a，b≥0)逆用就是ab≤a＋b22(a，b≥0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．3．对使用均值不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y＝x＋mx(m0)的单调性．1．若x0，y0，且x＋y＝18，则xy的最大值是________．答案81解析由于x0，y0，则x＋y≥2xy，所以xy≤x＋y22＝81，当且仅当x＝y＝9时，xy取到最大值81.2．已知t0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为________．答案－2解析∵t0，∴y＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4≥2－4＝－2，且在t＝1时取等号．3．已知x0，y0，且2x＋y＝1，则1x＋2y的最小值是______________________________．答案8解析因为1x＋2y＝(2x＋y)1x＋2y＝4＋yx＋4xy≥4＋2yx·4xy＝8，等号当且仅当y＝12，x＝14时成立．4．(2012·浙江)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()A.245B.285C．5D．6答案C解析∵x0，y0，由x＋3y＝5xy得151y＋3x＝1.∴3x＋4y＝15(3x＋4y)1y＋3x＝153xy＋4＋9＋12yx＝135＋153xy＋12yx≥135＋15×23xy·12yx＝5(当且仅当x＝2y时取等号)，∴3x＋4y的最小值为5.35．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是()A.－∞，14B.0，14C.－14，0D.－∞，14答案A解析由题意可知直线2ax－by＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a＋b＝1，又因ab≤a＋b22＝14(a＝b时取等号)．故ab的取值范围是－∞，14.题型一利用均值不等式证明简单不等式例1已知x0，y0，z0.求证：yx＋zxxy＋zyxz＋yz≥8.思维启迪：由题意，先局部运用均值不等式，再利用不等式的性质即可得证．证明∵x0，y0，z0，∴yx＋zx≥2yzx0，xy＋zy≥2xzy0，xz＋yz≥2xyz0，∴yx＋zxxy＋zyxz＋yz≥8yz·xz·xyxyz＝8.当且仅当x＝y＝z时等号成立．探究提高利用均值不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．已知a0，b0，c0，且a＋b＋c＝1.求证：1a＋1b＋1c≥9.证明∵a0，b0，c0，且a＋b＋c＝1，∴1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc4＝3＋ba＋ca＋ab＋cb＋ac＋bc＝3＋ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝13时，取等号．题型二利用均值不等式求最值例2(1)已知x0，y0，且2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值为________；(2)当x0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为________．思维启迪：利用均值不等式求最值可以先对式子进行必要的变换．如第(1)问把1x＋1y中的“1”代换为“2x＋y”，展开后利用均值不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x”，再利用均值不等式．答案(1)3＋22(2)1解析(1)∵x0，y0，且2x＋y＝1，∴1x＋1y＝2x＋yx＋2x＋yy＝3＋yx＋2xy≥3＋22.当且仅当yx＝2xy时，取等号．(2)∵x0，∴f(x)＝2xx2＋1＝2x＋1x≤22＝1，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．(1)已知x0，y0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是()A．3B．4C.92D.112(2)已知ab0，则a2＋16ba－b的最小值是________．答案(1)B(2)16解析(1)依题意，得(x＋1)(2y＋1)＝9，∴(x＋1)＋(2y＋1)≥2x＋12y＋1＝6，即x＋2y≥4.当且仅当x＋1＝2y＋1，x＋2y＋2xy＝8，即x＝2，y＝1时等号成立．∴x＋2y的最小值是4.5(2)∵ab0，∴b(a－b)≤b＋a－b22＝a24，当且仅当a＝2b时等号成立．∴a2＋16ba－b≥a2＋16a24＝a2＋64a2≥2a2·64a2＝16，当且仅当a＝22时等号成立．∴当a＝22，b＝2时，a2＋16ba－b取得最小值16.题型三均值不等式的实际应用例3某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？思维启迪：用长度x表示出造价，利用均值不等式求最值即可．还应注意定义域0x≤5；函数取最小值时的x是否在定义域内，若不在定义域内，不能用均值不等式求最值，可以考虑单调性．解由题意可得，造价y＝3(2x×150＋12x×400)＋5800＝900x＋16x＋5800(0x≤5)，则y＝900x＋16x＋5800≥900×2x×16x＋5800＝13000(元)，当且仅当x＝16x，即x＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低．(2011·北京)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A．60件B．80件C．100件D．120件答案B解析设每件产品的平均费用为y元，由题意得y＝800x＋x8≥2800x·x8＝20.6当且仅当800x＝x8(x0)，即x＝80时“＝”成立，故选B.忽视最值取得的条件致误典例：(12分)已知a、b均为正实数，且a＋b＝1，求y＝a＋1ab＋1b的最小值．易错分析在求最值时两次使用均值不等式，其中的等号不能同时成立，导致最小值不能取到．审题视角(1)求函数的最值问题，可以考虑利用均值不等式，但是利用均值不等式，必须保证“正、定、等”，而且还要符合已知条件．(2)可以考虑利用函数的单调性，但要注意变量的取值范围．规范解答解方法一y＝a＋1ab＋1b＝ab＋1ab＋ba＋ab≥ab＋1ab＋2＝ab＋1ab2＝4ab＋1ab－3ab2≥24ab·1ab－3×a＋b22＝4－322＝254.[10分]当且仅当a＝b＝12时，y＝a＋1ab＋1b取最小值，最小值为254.[12分]方法二y＝a＋1ab＋1b＝ab＋1ab＋ab＋ba＝ab＋1ab＋a2＋b2ab＝ab＋1ab＋a＋b2－2abab＝2ab＋ab－2.[8分]令t＝ab≤a＋b22＝14，即t∈0，14.又f(t)＝2t＋t在0，14上是单调递减的，[10分]∴当t＝14时，f(t)min＝334，此时，a＝b＝12.∴当a＝b＝12时，y有最小值254.[12分]7温馨提醒(1)这类题目比较容易下手．但是解这类题目却又常常出错．(2)利用均值不等式求最值，一定要注意应用条件：一正、二定、三相等．否则求解时会出现等号成立、条件不具备而出错．(3)本题出错的原因前面已分析，关键是忽略了等号成立的条件．方法与技巧1．均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用均值不等式的切入点．2．恒等变形：为了利用均值不等式，有时对给定的代数式要进行适当变形．比如：(1)当x2时，x＋1x－2＝(x－2)＋1x－2＋2≥2＋2＝4.(2)0x83，x(8－3x)＝13(3x)(8－3x)≤133x＋8－3x22＝163.失误与防范1．使用均值不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用均值不等式求最值，这三个条件缺一不可．2．在运用重要不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．3．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)2．(2012·福建)下列不等式一定成立的是()A．lgx2＋14lgx(x0)B．sinx＋1sinx≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.1x2＋11(x∈R)8答案C解析当x0时，x2＋14≥2·x·12＝x，所以lgx2＋14≥lgx(x0)，故选项A不正确；而当x≠kπ，k∈Z时，sinx的正负不定，故选项B不正确；由均值不等式可知，选项C正确；当x＝0时，有1x2＋1＝1，故选项D不正确．3．设x，y∈R，a1，b1，若ax＝by＝3，a＋b＝23，则1x＋1y的最大值为()A．2B.32C．1D.12答案C解析由ax＝by＝3，得：x＝loga3，y＝logb3，由a1，b1知x0，y0，1x＋1y＝log3a＋log3b＝log3ab≤log3a＋b22＝1，当且仅当a＝b＝3时“＝”成立，则1x＋1y的最大值为1.4．已知0x1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()A.13B.12C.34D.23答案B解析∵0x1，∴1－x0.∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3x＋1－x22＝34.当x＝1－x，即x＝12时取等号．二、填空题(每小题5分，共15分)5．已知x，y∈R＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．答案3解析∵x0，y0且1＝x3＋y4≥2xy12，∴xy≤3.当且仅当x3＝y4时取等号．6．(2011·湖南)设x，y∈R，且xy≠0，则x2＋1y2·1x2＋4y2的最小值为________．答案9解析x2＋1y21x2＋4y2＝5＋1x2y2＋4x2y29