《通信原理》樊昌信第6版答案第三章作业答案

【3-1】答案根据题意，随机变量X的概率密度函数（PDF）为：2221)(xXexfX的均值：0][XEmXX的方差：1][][222XEmXEXX【解法1】按照随机变量的函数的PDF求解方法。随机变量Y为：dcXY反函数：cdcYX//雅克比：cYXJ1Y的PDF：222)(2//21)()(cdycdcYXXecxfJyf【解法2】按照“高斯随机变量的线性变换仍是高斯随机变量”。所以，Y是高斯随机变量。而高斯随机变量的PDF用其均值和方差就可完全描述。Y的均值：ddXcEdcXEYEmY][][][Y的方差：2222222][][][cXEcXcEmYEYY所以，Y的PDF为：222)(221)(YYmyYeyf222)(221cdyec【3-2】答案对于任意给定的时间t，随机过程)(t对应于一个随机变量)(t：当t=0时，所对应的随机变量为cos2)02cos(2)0(；当t=1时，所对应的随机变量为cos2)12cos(2)1(。)1(的均值为：1|)1()2/(|)1()0()]1([)1(2/0PPEE)0(和)1(的相关为：2|cos4)2/(|cos4)0(]cos4[)]1()0([)1,0(2/2022PPEER【3-3】答案题中所给条件如下：X1的PDF：22112)(2121)(xXexfX1的均值：0][11XEmXX1的方差：221212][11XEmXEXXX2的PDF：22222)(2221)(xXexfX2的均值：0][22XEmXX2的方差：222222][22XEmXEXX又因为X1和X2互相独立，所以有：0][][][2121XEXEXXE此外，因为互相独立，还可写出X1和X2的联合PDF为：)()(),(21212121xfxfxxfXXXX（1）0)sin(][)cos(][)]sin()cos([)]([02010201tXEtXEtXtXEtYE20220220222002102210222002102212)(sin)(cos)(sin][)sin()cos(][2)(cos][)](sin)sin()cos(2)(cos[)]([tttXEttXXEtXEtXttXXtXEtYE注意：上面的计算中利用了0][][][2121XEXEXXE。（2）对于任何给定的时间t，)(tY是X1和X2的线性组合，而X1和X2均是高斯随机变量，所以求)(tY的PDF仅需要知道)(tY的均值)]([tYE和)(tY的方差])]([)([2tYEtYE。前面已经求出：0)]([tYE所以)(tY的方差为：222)]([])]([)([tYEtYEtYE所以)(tY的PDF为：222221)(yYeyf（3）计算自相关和协方差自相关：)sin()sin()sin()cos()sin()cos()cos()cos(),(2010221020212010212010212121ttXttXXttXXttXEtYtYEttR))(cos()sin()sin()cos()cos()sin()sin(][)sin()cos(][)sin()cos(][)cos()cos(][21022010220102201022102021201021201021ttttttttXEttXXEttXXEttXE协方差：)])([)])(([(),(221121tYEtYtYEtYEttB由于前面已经求出0)]([tYE，所以，0)]([1tYE，0)]([2tYE则有：))(cos(),(),(2102212121ttttRtYtYEttB【3-5】答案根据题意有：为其他值,000,101,1)()]()([),(mmRtmtmEttR又有，的PDF为：为其他值,020,21f（1）证明)(tz是广义平稳，则需要求)(tz的均值函数和自相关函数。z(t)的均值函数：)]cos()([)]([)(ttmEtzEtmcz利用)(tz和)(tm互相独立的性质，则有：0)cos(21)]([)()cos()]([)][cos()]([)(20dttmEdfttmEtEtmEtmccczz(t)的自相关函数：))(cos()cos()()([)]()([),(tttmtmEtztzEttRccz利用)(tz和)(tm互相独立的性质，则有：为其他值,010,)cos()1(5.001,)cos()1(5.0)cos()(5.0)22cos(21)(5.0)cos()(5.0)]22[cos(5.0)cos(5.0()()22cos()cos(21)()])(cos()[cos()]()([)]()([),(20cccmccmcmcccmcccmcczRdtRRtERtERttEtmtmEtztzEttR从上述结果可见，)(tz的均值与时间t无关、其自相关函数仅是时间差的函数，所以)(tz是广义平稳的。（2）画图：略（3）由于)(tz是广义平稳的，所以其功率谱密度函数是其自相关函数的傅里叶变换，所以，其功率谱密度函数为：1020122)cos()1(5.0)cos()1(5.0)()(dededeRfRfjcfjcfjzz上述积分结果略。)(tz的功率为：5.0)0(|)(0zzRRS【3-7】答案（1）系统框图：（2）已知条件：X（t）的均值：atXEmX)]([X（t）的自相关函数：)]()([)(tXtXERX因为X（t）是平稳随机过程，所以其功率谱)(fPX为自相关函数的傅里叶变换：deRfPfjXX2)()(且)(fPX的傅里叶反变换为)(XR，即：dfefPRfjXX2)()(对线性系统的系统方差两端做拉普拉斯变换，得到：)()1()(sXesYsT所以该系统的系统函数（拉普拉斯变换表示）为：sTesXsYsH1)()()(用fjs2代入系统函数，得到该系统的频率响应为：fTjefH21)(延迟TX(t)Y(t)平稳随机过程通过线性系统后，仍是平稳随机过程，所以Y（t）是平稳随机过程。根据随机过程通过线性系统后的功率谱性质，可得Y（t）的功率谱为：))2cos(22()()()()(2fTfPfHfPfPXXY因为平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度函数构成一对傅里叶变换，所以对)(fPY求傅里叶反变换就可得Y（t）的自相关函数)(YR。实际上，此处Y（t）的自相关函数按照定义求比较方便：)]()()()()()()()([)]()([)(TtXTtXtXTtXTtXtXtXtXEtYtYERY)()()(2)()()()()]()([)]()([)]()([)]()([TRTRRRTRTRRTtXTtXEtXTtXETtXtXEtXtXEXXXXXXX【3-8】答案设输入信号为X(t)，则X(t)的功率谱密度函数为：2/)(0nfPX，此式子对所以实数f均成立。X(t)的自相关函数为其功率谱密度函数的傅里叶反变换，所以其自相关函数为：)(2)(0nRX。根据给定条件，还有：X(t)的均值为：0)]([tXEmXX(t)的方差为：2)0()]([])([0222nRtXEmtXEXXX（1）Y(t)的功率谱密度函数：值其他fBffBfnBffBfnfHfPfPccccXY,02/2/,2/2/2/,2/)()()(002Y(t)的自相关函数为其功率谱密度函数的傅里叶反变换，即：2/2/202/2/20222)()(BfBffjBfBffjfjYYccccdfendfendfefPR上述积分结果略。（2）输出噪声（即Y(t)）的平均功率就是0时的自相关函数取值。所以，Y(t)的平均功率为：BndfndfndfefPRBfBfBfBffjYYcccc02/2/02/2/00222)()0(实际上，平均功率是功率谱密度函数的积分（即面积），所以画出)(fPY的图，即可方便地求出Y(t)的平均功率为Bn0。（3）由于X(t)为高斯信号，Y(t)是X(t)通过线性系统所得信号，所以Y(t)也是高斯信号。因此，求Y(t)的一维概率密度函数仅需要知道其均值和方差即可。Y(t)的均值：)0(HmmXY其中，0Xm,H(0)是本题中线性系统（即理想带通滤波器）的频率特性H(f)在f=0处的值，据所给滤波器频率响应特性可知H(0)=0。所以，Y(t)的均值为：0)0(HmmXYY(t)的方差：BnRtYEmtYEYYY0222)0()]([])([所以，Y(t)的一维概率密度函数为：BnyYeBnyf022021)(【3-10】答案定义所给滤波器的输入电压为)(tui、输出电压为)(0tu、其电感和电阻上流过的电流为i(t)，则可在所给滤波器上标注各信号如下：针对上述电路系统可写出如下方程：)()()(tRidttdiLtui)()(tRituo上述方程组两道同时做拉普拉斯变换，整理后可得该滤波器的传递函数为：LsRRsUsUsHio)()()(将fjs2代入上述式子，可得该滤波器的频率响应为：LfjRRfH2)(又由题意知：输入随机过程)(tui的功率谱密度函数为：2)(0nfPi，forallf而该随机过程通过的系统为线性时不变系统，所以输出随机过程)(0tu的功率谱密度函数为：)(tuiL)(0tuR)(ti)4(2|)(|)()(2222022fLRnRfHfPfPio将上述功率谱密度函数做傅里叶反变换，就可得输出随机过程的自相关函数)(oR（具体结果略），而)0(oR就是输出随机过程的功率（结果略）。【3-13】答案对应平稳随机过程X(t)，其自相关函数与功率谱密度函数有如下傅里叶变换关系：deRPjxx)()(dePRjxx)(21)(设功率谱)]()([2100xxPP所对应的随机过程为Y(t)，则Y(t)的自相关函数应该是)]()([2100xxPP的傅里叶反变换：dePPRjxxy)]()([2121)(00dePjx)(21210+dePjx)(21210dvevPvjx)(0)(2121+dvevPvjx)(0)(2121dvevPejvxj)(2120+dvevPejvxj)(2120)(20xjRe+)(20xjRe=)cos