《高等工程数学》吴孟达版习题答案(第二章)

《高等工程数学》――科学出版社版习题答案（第二章）（此习题答案仅供学员作业时参考。因时间匆忙，有错之处敬请指正，谢谢！）（联系地址：[e-mail]）P501．求下列矩阵的特征值、代数重数核几何重数，并判断矩阵是否可对角化（1）110020112－（2）011121213－－（3）411030102－解：（1）特征值：1231(1)()＝代数重数和几何重数均为，＝＝2代数重数和几何重数均为2可对角化。（2）特征值：1231(1)()＝代数重数和几何重数均为，＝＝2代数重数为2和几何重数为1不可对角化。（3）特征值：123(1)＝＝＝3代数重数为3、几何重数均为不可对角化。2．求下列矩阵的不变因子、初等因子和Jordan标准形（1）3732524103－－－－－（2）41300210－1（3）1234012300120001（4）3000013000001100002000112－解：（1）不变因子是：123dddi＝1,＝1,＝(-1)(-i)()初等因子是：i(-1),(-i),()Jordan标准形是：1000000ii（2）不变因子是：123ddd3＝1,＝1,＝(-3)初等因子是：3(-3)Jordan标准形是：310031003（3）不变因子是：1234dddd4＝1,＝1,＝1,＝(-1)初等因子是：4(-1)Jordan标准形是：1100011000110001（4）不变因子是：12345ddddd＝1,＝1,＝1,＝(-2)（-3），＝(-1)(-2)（-3）初等因子是：(-2)，（-3），(-1)，(-2)，（-3）Jordan标准形是：10000020000020000030000033．设（1）110A0012－＝22（2）33A613－－1＝－7－11－（3）010A111011＝－－求可逆矩阵P，使得P－1AP是Jordan标准形解：（1）A的特征值为1231＝，＝＝2对应的特征向量是：121,TT＝(，0,-1)＝(0,0,1)二级根向量是：(2)2T＝(-1,1,0)(2)122101(,,0110002102PPAP1)＝0-1100（2）A的特征值为123＝＝＝2对应的特征向量是：11T＝(，2,1)二级根向量和三级根向量是：(2)(3)11,TT＝(1,3,3)＝(0,2,2)(2)(3)111110(,,3232102102PPAP1)＝21200（3）此题数据不便于求解特征值，A的特征多项式是：3210()|A|11121011fI＝－＋4．试求第2题最小多项式。解：（1）最小多项式是：Am()i(-1)(-i)()（2）最小多项式是：Am()3(-3)（3）最小多项式是：Am()4(-1)（4）最小多项式是：Am()(-1)(-2)(-3）5．设10A102＝0101，计算方阵多项式8542()34gAAAAAI＝2解：因为：854253232()34(245914)(21)(243710)g＝2而3()(21)f是A的特征多项式，所以f（A）＝0故有234826()437100956106134gAAAI＝26．设A是可逆方阵，证明A－1可表示为A的方阵多项式。证明：设A是n阶方阵，其特征多项式是：1011()...nnnnfaaaa因A可逆，所以0na（为什么？自己证明）由1011()...0nnnnfAaAaAaAaI得112011(...)/nnnnAaAaAaIa所以A－1可表示为A的多项式。7．设0A，0(2)kAk，证明A不能与对角矩阵相似。证明：由题设知，A的最小多项式是：2()Am，有重根，所以不能相似对角化。8．已知()pAIp为正整数，证明A与对角矩阵相似。证明：由题设知，()1pg是A的零化多项式，而多项式()1pg没有重根（为什么？自己证！！），所以A的最小多项式没有重根，故与对角矩阵相似9．设2AA，试证A的Jordan标准形是diag{1,1,…,1,0,…,0}证明：因为2()g是A的零化多项式，且是最小多项式，所以A的特征值只能是0和1，且可对角化，所以A的Jordan标准形是diag{1,1,…,1,0,…,0}10．设方阵A的特征多项式()f和最小多项式()m分别为：（1）4222()(2)(3),()(2)(3)fm（2）332()(3)(5),()(3)(5)fm试确定A的所有可能的Jordan标准形解：（1）A的可能Jordan标准形为22212313或212212313（2）A的可能Jordan标准形为2212555