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1【优化指导】2015高考数学总复习第9章第1节直线的倾斜角与斜率、直线的方程课时跟踪检测理(含解析)新人教版1.(2014·云南检测)直线x=π3的倾斜角等于()A.0B.π3C.π2D.π解析:选C直线x=π3与x轴垂直,因此直线x=π3的倾斜角为π2,故选C.2.(2014·临川一中模拟)直线kx-y+2=4k,当k变化时,所有直线都通过定点()A.(0,0)B.(2,1)C.(4,2)D.(2,4)解析:选C直线方程可化为k(x-4)-(y-2)=0,所以直线恒过定点(4,2).故选C.3.若3π2<α<2π,则直线xcosα+ysinα=1必不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:选B直线方程即为y=-sinαcosαx+sinα=(-tanα)x+sinα.由3π2<α<2π,知tanα<0,sinα<0,故直线过一、三、四象限,而不过第二象限,故选B.4.在同一平面直角坐标系中,直线l1:ax+y+b=0和直线l2:bx+y+a=0有可能是()解析:选Bl1:y=-ax-b,l2:y=-bx-a.可知l1的斜率是l2的纵截距,l1的纵截距是l2的斜率.在选项A中,l1的纵截距为正,而l2的斜率为负,不合题意,排除选项A.同理可排除选项C、D,故选B.5.(2014·安阳模拟)平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3,-1),C(2,-3)两点,D点在直线3x-y+1=0上移动,则B点的轨迹方程为()A.3x-y-20=0B.3x-y-10=02C.3x-y-9=0D.3x-y-12=0解析:选A设AC的中点为O,则O52,-2.设B(x,y)关于点O的对称点为(x0,y0),即D(x0,y0),则x0=5-x,y0=-4-y,又3x0-y0+1=0,所以3(5-x)-(-4-y)+1=0,即3x-y-20=0.故选A.6.(2013·湖南高考)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P为边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P.若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于()A.2B.1C.83D.43解析:选D以A为原点,AB为x轴,AC为y轴建立直角坐标系如图所示.则A(0,0),B(4,0),C(0,4).设△ABC的重心为D,则D点坐标为43,43.设P点坐标为(m,0),则P点关于y轴的对称点P1为(-m,0),因为直线BC方程为x+y-4=0,所以P点关于BC的对称点P2为(4,4-m),根据光线反射原理,P1,P2均在QR所在直线上,由kP1D=kP2D,得4343+m=43-4+m43-4,解得m=43或m=0.当m=0时,P点与A点重合,故舍去.所以m=43,故选D.7.过两点(-1,1)和(0,3)的直线在x轴上的截距为________.3解析:-32过点(-1,1)和(0,3)的直线方程为y-13-1=x--0--,即2x-y+3=0,令y=0,得x=-32,即直线在x轴上的截距为-32.8.已知点A(1,-2),B(m,2),且线段AB的垂直平分线的方程是x+2y-2=0,则实数m的值是________.解析:3线段AB的中点坐标为m+12,0,代入直线x+2y-2=0,得m=3.9.过点(3,0)且倾斜角是直线x-2y-1=0的倾斜角的两倍的直线方程为________.解析:4x-3y-12=0设直线x-2y-1=0的倾斜角为α,则tanα=12.故所求直线的斜率k=tan2α=2tanα1-tan2α=43.所以直线方程为y-0=43(x-3),即4x-3y-12=0.10.已知A(3,0),B(0,4),直线AB上一动点P(x,y),则xy的最大值是________.解析:3过A、B两点的直线方程为x3+y4=1,所以y=41-x3.因此xy=4x1-x3=-43x2+4x=-43x-322-94.故当x=32时,xy有最大值,且最大值为-43×-94=3.11.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3,分别求满足下列条件的直线l的方程:(1)过定点A(-3,4);(2)斜率为16.解:(1)由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程是y=k(x+3)+4,它在x轴、y轴上的截距分别是-4k-3,3k+4,由已知,得(3k+4)4k+3=±6,解得k=-23或k=-83.故直线l的方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.4(2)设直线l在y轴上的截距为b,则直线l的方程是y=16x+b,它在x轴上的截距是-6b,由已知得|-6b·b|=6,解得b=±1.所以直线l的方程为x-6y+6=0或x-6y-6=0.12.已知两点A(-1,2),B(m,3).(1)求直线AB的方程;(2)已知实数m∈-33-1,3-1,求直线AB的倾斜角α的取值范围.解:(1)当m=-1时,直线AB的方程为x=-1;当m≠-1时,直线AB的方程为y-2=1m+1(x+1),即y=xm+1+2m+3m+1.因此直线AB的方程为x=-1或y=xm+1+2m+3m+1.(2)①当m=-1时,α=π2;②当m≠-1时,m+1∈-33,0∪(0,3],∴k=1m+1∈(-∞,-3]∪33,+∞,∴α∈π6,π2∪π2,2π3.综上可知直线AB的倾斜角α的取值范围为π6,2π3.1.若k,-1,b三个数成等差数列,则直线y=kx+b必经过定点()A.(1,-2)B.(1,2)C.(-1,2)D.(-1,-2)解析:选A由k,-1,b成等差数列知k+b=-2,在直线方程y=kx+b中,令x=1,则k+b=-2,故直线必过定点(1,-2).故选A.2.将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位,所得到的直线为()A.y=-13x+13B.y=-13x+1C.y=3x-3D.y=13x+1解析:选A将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°得到直线y=-13x,再向右平移1个5单位,所得直线的方程为y=-13(x-1),即y=-13x+13.故选A.3.若点A(a,0),B(0,b),C(1,-1)(a>0,b<0)三点共线,则a-b的最小值为________.解析:4由条件,得kAB=kAC,即b-00-a=-1-01-a.所以1a-1b=1.所以a-b=(a-b)1a-1b=2-ba-ab=2+-ba+-ab≥4,当且仅当a2=b2且1a-1b=1,即a=2,b=-2时等号成立,所以a-b的最小值为4.4.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是________.解析:(-∞,-1)∪12,+∞设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y-2=k(x-1),故在x轴上的截距为1-2k,令-3<1-2k<3,解得k<-1或k>12,故所求范围为(-∞,-1)∪12,+∞.5.(2014·扬州模拟)如图,射线OA,OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别交OA,OB于A,B两点,当AB的中点C恰好落在直线y=12x上时,求直线AB的方程.解:由题意可得kOA=tan45°=1,kOB=tan(180°-30°)=-33,所以直线lOA:y=x,lOB:y=-33x.设A(m,m),B(-3n,n),所以AB的中点C(m-3n2,m+n2),由点C在直线y=12x上,且A、P、B三点共线得6m+n2=12·m-3n2,m-0m-1=n-0-3n-1,解得m=3,所以A(3,3).又P(1,0),所以kAB=kAP=33-1=3+32,所以直线AB的方程为y=3+32(x-1),即(3+3)x-2y-3-3=0.
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